|
4
0
. Funksiyaning o`ng va chap limitlari.
Aytaylik,
)
(
x
f
funksiya
R
X
to`plamda
berilgan,
0
x
nuqta
X
ning chap limit nuqtasi bo`lib,
)
0
(
)
,
(
0
0
X
x
x
bo`lsin.
7-ta`rif.
Agar
|
)
(
|
:
)
,
(
,
0
,
0
0
0
b
x
f
x
x
x
bo`lsa,
b
son
)
(
x
f
funksiyaning
0
x
nuqtadagi chap limiti
deyiladi va
)
0
(
)
(
lim
0
0
0
x
f
x
f
b
x
x
kabi belgilanadi.
Faraz qilaylik,
)
(
x
f
funksiya
R
X
to`plamda berilgan,
0
x
nuqta
X
ning o`ng limit
nuqtasi bo`lib,
)
0
(
)
,
(
0
0
X
x
x
bo`lsin.
8-ta`rif.
Agar
|
)
(
|
:
)
,
(
,
0
,
0
0
0
b
x
f
x
x
x
bo`lsa,
b
son
)
(
x
f
funksiyaning
0
x
nuqtadagi o`ng limiti deyiladi va
)
0
(
)
(
lim
0
0
0
x
f
x
f
b
x
x
kabi belgilanadi.
Masalan,
бўлса
0
агар
,
1
,
бўлса
0
агар
,
0
,
бўлса
0
агар
,
1
)
(
x
x
x
x
f
funksiyaning 0 nuqtadagi o`ng limiti 1, chap limiti -1 bo`ladi.
Mashqlar
1. Ushbu
18
,
)
(
lim
,
)
(
lim
,
)
(
lim
,
)
(
lim
x
f
x
f
x
f
x
f
x
x
x
x
limitlarning ta`riflari keltirilsin.
2. Ushbu
x
x
f
sin
)
(
funksiya
0
0
x
nuqtada limitga ega emasligi isbotlansin.
3. Limit ta`rifidan foydalanib,
1
1
lim
1
x
x
bo`lishi isbotlansin.
4.
)
(
x
f
funksiya
a
nuqtada
b
limitga ega bo`lishi uchun uning shu nuqtadagi o`ng va
chap limitlari mavjud bo`lib,
b
a
f
a
f
)
0
(
)
0
(
tengliklar o`rinli bo`lishi zarur va etarli bo`lishi isbotlansin.
Limitga ega bo`lgan funksiyalarning xossalari.
Limitning mavjudligi
1
0
. Limitga ega bo`lgan funksiyalarning xossalari.
CHekli limitga ega bo`lgan
funksiyalar ham yaqinlashuvchi ketma-ketlik singari qator xossalarga ega.
Faraz qilaylik,
)
(
x
f
funksiya
R
X
to`plamda berilgan bo`lib,
R
x
0
nuqta
X
ning
limit nuqtasi bo`lsin.
1-xossa
. Agar
0
x
x
da
)
(
x
f
funksiya limitga ega bo`lsa, u yagona bo`ladi.
◄Bu xossaning isboti limit ta`riflarining ekvivalentligi hamda ketma-ketlik limitining
yagonaligidan kelib chiqadi.►
2-xossa
. Agar
b
x
f
x
x
)
(
lim
0
, (
b
chekli son)
bo`lsa, u holda
0
x
nuqtaning shunday
)
0
(
)
(
0
x
U
atrofi topiladiki, bu atrofda
)
(
x
f
funksiya chegaralangan bo`ladi.
◄Aytaylik,
b
x
f
x
x
)
(
lim
0
bo`lsin. Funksiya limiti ta`rifga binoan
})
{
\
)
(
(
,
0
,
0
0
0
x
x
U
X
x
da
|
)
(
|
b
x
f
ya`ni
b
x
f
b
)
(
bo`ladi. Keyingi tengsizliklardan
)
(
x
f
funksiyaning
0
x
nuqtaning
)
(
0
x
U
atrofida chegaralangan-ligi kelib chiqadi. ►
3-xossa
. Agar
b
x
f
x
x
)
(
lim
0
bo`lib,
p
b
bo`lsa, u holda
0
x
nuqtaning shunday
)
(
0
x
U
atrofi topiladiki, bu atrofda
p
x
f
)
(
bo`ladi.
◄SHartga ko`ra
b
x
f
x
x
)
(
lim
0
.
Funksiyaning limiti ta`rifiga ko`ra
0
b
p
uchun shunday
0
son topiladiki,
X
x
,
0
x
x
,
0
x
x
uchun
19
p
b
x
f
b
x
f
bo`ladi. Bu esa
)
(
0
x
U
x
da
p
x
f
)
(
bo`lishini bildiradi. ►
Faraz qilaylik,
)
(
x
f
va
)
(
x
g
funksiyalar
R
X
to`plam-da berilgan bo`lib,
R
x
0
nuqta
X
to`plamning limit nuqtasi bo`lsin.
4-xossa
. Agar
1
)
(
lim
0
b
x
f
x
x
,
2
)
(
lim
0
b
x
g
x
x
bo`lib,
X
x
da
x
g
x
f
)
(
tengsizlik bajarilsa, u holda
2
1
b
b
, ya`ni
)
(
lim
)
(
lim
0
0
x
g
x
f
x
x
x
x
bo`ladi.
◄
Aytaylik,
1
)
(
lim
0
b
x
f
x
x
,
2
)
(
lim
0
b
x
g
x
x
bo`lsin.
Funksiya limitining Geyne ta`rifiga ko`ra
0
x
ga intiluvchi ixtiyoriy
)
,
(
0
0
x
x
X
x
x
x
n
n
n
ketma-ketlik uchun
n
da
2
1
)
(
,
)
(
b
x
g
b
x
f
n
n
(1)
bo`ladi.
Ravshanki,
N
n
da
)
(
)
(
n
n
x
g
x
f
(2)
YAqinlashuvchi ketma-ketlikning xossalaridan foydalanib, (1) va (2) munosabatlardan
)
(
lim
)
(
lim
0
0
n
x
x
n
x
x
x
g
x
f
, ya`ni
2
1
b
b
bo`lishini topamiz. ►
5-xossa
. Faraz qilaylik,
)
,
(
,
)
(
lim
,
)
(
lim
2
1
2
1
0
0
R
b
b
b
x
g
b
x
f
x
x
x
x
limitlar mavjud bo`lsin. U holda
a)
R
c
da
)
(
lim
))
(
(
lim
0
0
x
f
с
x
f
c
x
x
x
x
;
b)
);
(
lim
)
(
lim
))
(
)
(
(
lim
0
0
0
x
g
x
f
x
g
x
f
x
x
x
x
x
x
v)
);
(
lim
)
(
lim
))
(
)
(
(
lim
0
0
0
x
g
x
f
x
g
x
f
x
x
x
x
x
x
g) Agar
0
2
b
bo`lsa,
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
0
0
0
x
g
x
f
x
g
x
f
x
x
x
x
x
x
bo`ladi.
Bu tasdiqlarning isboti sonlar ketma-ketliklari ustida arifmetik amallar bajarilishi haqidagi
ma`lumot-lardan kelib chiqadi.
1-misol.
Ushbu
1
...
lim
3
2
1
x
n
x
x
x
x
n
x
limit hisoblansin.
◄ Bu limitni yuqoridagi xossalardan foydalanib hisoblaymiz:
20
2
3
2
3
1
1
...
(
1) (
1) (
1) ... (
1)
lim
lim
1
1
n
n
x
x
x x
x
x
n
x
x
x
x
x
x
2
1
2
1
1 [1
1
1
...
1 ]
lim
1
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
(
1)
1 2 3 ...
2
n n
n
.►
2-misol.
Ushbu
2
0
cos
1
lim
x
x
x
limit hisoblansin.
◄ Ma`lumki,
2
sin
2
cos
1
2
x
x
. SHuni hisobga olib topamiz:
2
2
2
2
0
0
0
2sin
sin
1 cos
1
2
2
lim
lim
lim
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
0
0
sin
sin
1
1
2
2
lim
lim
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
. ►
Do'stlaringiz bilan baham: |
