|
funksiyaning
0
x
nuqtadagi limiti
deyiladi:
b
x
f
x
x
)
(
lim
0
.
Bu ta`rifni qisqacha quyidagicha ham aytish mumkin:
0
,
0
)
(
,
})
{
\
)
(
(
0
0
x
x
U
X
x
:
|
)
(
|
b
x
f
bo`lsa,
b
x
f
x
x
)
(
lim
0
.
3-misol.
)
(
const
)
(
R
C
C
x
f
bo`lsin. Bu funksiya uchun
C
x
f
x
x
)
(
lim
0
bo`ladi.
4-misol.
Ushbu
1
1
)
(
2
x
x
x
f
funksiyaning
1
0
x
nuqtadagi limiti 2 ga teng ekani
ko`rsatilsin.
◄
0
soniga ko`ra
deb olsak, u holda
|
1
|
x
)
1
(
x
tengsizlikni
qanoatlantiruvchi ixtiyoriy
x
da
|
1
|
|
2
1
|
2
1
1
2
x
x
x
x
bo`ladi. Demak,
.
2
1
1
lim
2
0
x
x
x
x
►
5-misol.
Faraz qilaylik,
}
0
{
\
R
X
da
x
x
x
f
sin
)
(
bo`lsin. Bu funksiya uchun
1
sin
lim
0
x
x
x
bo`ladi.
◄Ma`lumki,
2
,
0
x
uchun
tgx
x
x
2
1
2
1
sin
2
1
bo`ladi. Bu tengsizliklardan, funksiyalarning juftligini hisobga olib,
2
|
|
0
x
da
1
sin
cos
x
x
x
bo`lishini topamiz. Keyingi tengsizliklardan esa
2
4
2
2
sin
2
cos
1
sin
1
0
2
2
2
x
x
x
x
x
x
bo`lishi kelib chiqadi.
Endi
0
ni olib,
}
1
;
min{
deyilsa, unda
,
|
|
,
x
x
0
x
uchun
14
x
x
sin
1
0
bo`ladi. Demak,
1
sin
lim
0
x
x
x
. ►
6-misol.
Ushbu
0
,
,
0
,
)
(
0
x
R
x
a
a
x
f
x
funksiya uchun
1
lim
0
x
x
a
bo`lishi isbotlansin.
◄
1
a
bo`lgan holni qaraylik. Bu holda
)
(
x
f
funksiya qat`iy o`suvchi bo`ladi:
2
1
:
)
(
)
(
,
,
2
1
2
1
2
1
x
x
a
a
x
f
x
f
x
x
R
x
x
.
0
sonni olaylik. Ma`lumki,
n
da
1
,
1
1
1
n
n
a
a
bo`lib, ketma-ketlik limiti ta`rifiga binoan
,
1
:
,
1
1
1
n
a
n
n
N
n
1
:
,
1
2
2
n
a
n
n
N
n
bo`ladi. endi
0
2
1
0
1
},
,
max{
n
n
n
n
deyilsa, unda
0
1
1
|
0
|
,
n
x
n
x
x
bo`lganda
|
1
|
1
1
1
1
0
x
x
n
x
n
a
a
a
a
a
bo`ladi. Demak,
1
lim
0
x
x
a
.
1
0
a
bo`lganda
1
lim
0
x
x
a
bo`lishini isbotlash o`quvchiga havola etiladi. ►
5-ta`rif.
Agar
0
son olinganda ham shunday
0
son topilsaki,
})
{
\
)
(
(
0
0
x
x
U
X
x
uchun
)
(
x
f
tengsizlik bajarilsa,
)
(
x
f
funksiyaning
0
x
nuqtadagi limiti
deb ataladi va
)
(
lim
0
x
f
x
x
kabi belgilanadi.
Masalan,
2
1
( )
f x
x
,
)
0
(
x
funksiya uchun
2
0
1
lim
x
x
bo`ladi.
15
Aytaylik,
)
(
x
f
funksiya
R
X
to`plamda berilgan bo`lib,
0
x
nuqta
X
to`plamning limit nuqtasi bo`lsin.
6-ta`rif.
Agar
0
son olinganda ham shunday
0
topilsaki,
,
X
x
x
uchun
|
)
(
|
b
x
f
tengsizlik bajarilsa,
b
soni
)
(
x
f
funksiyaning
0
x
dagi limiti
deyiladi va
b
x
f
x
)
(
lim
kabi belgilanadi.
7-misol.
Aytaylik,
)
,
0
(
X
,
0
x
,
x
x
f
1
)
(
bo`lsin. U holda
0
1
lim
x
x
bo`ladi.
◄Haqiqatan ham,
0
sonnni olaylik. Ravshanki,
0
x
uchun
1
1
0
1
x
x
x
.
Demak,
1
deyilsa, unda
x
uchun
1
1
0
1
x
x
bo`ladi. ►
8-misol.
Faraz qilaylik,
R
X
N
m
a
a
x
x
f
x
m
,
,
1
,
)
(
bo`lsin. Unda
0
lim
x
m
x
a
x
bo`lishini isbotlaymiz.
◄
0
sonni olaylik. Ma`lumki,
n
da
0
)
1
(
n
m
a
n
bo`ladi. Unda
n
m
a
n
n
n
n
)
1
(
:
,
,
0
0
0
bo`ladi.
Agar
0
n
C
deyilsa, unda
C
x
uchun
x
m
x
m
x
m
a
x
a
x
a
x
)
1
(
0
bo`ladi
).
]
[
(
0
C
n
x
Demak,
0
lim
x
m
x
a
x
. ►
9-misol.
Ushbu
16
e
x
x
x
1
1
lim
munosabat isbotlansin.
◄
0
sonni olamiz. Ma`lumki,
n
da
,
1
1
e
n
n
.
2
1
1
1
1
1
1
1
1
e
n
n
n
n
n
n
Limit ta`rifiga binoan,
e
n
n
e
n
n
N
n
n
n
1
0
0
1
1
,
1
1
1
:
,
,
0
bo`ladi.
Endi
0
n
C
desak, unda
C
x
uchun
e
x
x
x
e
x
x
x
1
]
[
]
[
]
[
1
1
1
1
1
]
[
1
1
bo`lib,
e
x
x
1
1
bo`ladi. Demak,
e
x
x
x
1
1
lim
. ►
3
0
.
Funksiya limiti ta`riflarining ekvivalentligi.
3-teorema.
Funksiya limitining Koshi hamda Geyne ta`riflari ekvivalent ta`riflardir.
◄Koshi ta`rifiga ko`ra
b
soni
)
(
x
f
funksiyaning
0
x
nuqtadagi limiti bo`lsin:
b
x
f
x
x
)
(
lim
0
Unda
0
0
,
|
|
,
,
0
,
0
x
x
x
x
X
x
bo`lganda
|
)
(
|
b
x
f
(1)
bo`ladi.
0
x
nuqta
X
to`plamning limit nuqtasi. Unda 2-teoremaga ko`ra
}
{
n
x
ketma-ketlik
topiladiki,
n
da
0
x
x
n
,
2
,
1
,
0
n
x
x
n
bo`ladi. Ketma-ketlik limiti ta`rifiga
binoan
,
|
|
:
,
,
0
0
0
0
x
x
n
n
N
n
n
(2)
bo`ladi. (1) va (2) munosabatlardan
0
n
n
uchun
b
x
f
n
)
(
bo`lishi kelib chiqadi. Bu esa
b
sonini Geyne ta`rifi bo`yicha
)
(
x
f
funksiyaning
0
x
nuqtadagi
limiti ekanini bildiradi.
Endi
b
soni Geyne ta`rifi bo`yicha
)
(
x
f
funksiyaning
0
x
nuqtadagi limiti bo`lsin.
17
Teskarisini faraz qilamiz, ya`ni
)
(
x
f
funksiyaning
0
x
nuqtadagi limiti Geyne ta`rifi bo`yicha
b
ga teng bo`lsa ham, Koshi ta`rifi bo`yicha limiti bo`lmasin. Unda biror
0
0
uchun ixtiyoriy
0
son olinganda ham
|
|
0
0
x
x
ni qanoatlantiruvchi biror
x
da
0
|
)
(
|
b
x
f
bo`ladi.
Nolga intiluvchi musbat sonlar ketma-ketligi {
n
} ni olaylik:
n
da
0
n
,
2
,
1
,
0
n
n
.
U holda
0
0
|
)
(
|
|
|
0
b
x
f
x
x
n
n
n
(3)
bo`ladi. Ammo
0
n
, da
0
x
x
n
, demak, Geyne ta`rifiga asosan
b
x
f
n
)
(
bo`ladi. Bu (3) ga ziddir. Demak,
b
soni Koshi ta`rifi bo`yicha ham,
)
(
x
f
funksiyaning
0
x
nuqtadagi limiti bo`ladi. ►
Do'stlaringiz bilan baham: |
