Эллипс, гипербола ва параболаларнинг қутб координаталар системасидаги тенгламалари

7-Маъруза


Мавзу: Эллипс, гипербола ва параболаларнинг қутб координаталар системасидаги тенгламалари.
Режа:

1. 
   Эллипс ва гипербола.
   
2. 
   гипербола ва параболаларнинг қутб координаталар системасидаги тенгламалари.
   
3. 
   Мисоллар ечиш.
   

Маълумки, текисликда тенглама айлананинг тенгламаси. Бу тенгламага тенгликлар қўйсак, натижада

(5.12)
тенглик ҳосил бўлади.
Энди эгри чизиқ эллипс ёки парабола бўлсин. орқали эгри чизиқнинг фокус нуқтасини, орқали директрисасини, орқали эгри чизиқнинг фокус нуқтасидан директрисасигача масофани ҳамда орқали эса эксцентриситетини белгилаймиз.

Шунга кўра тенгликка асосан бўлишини топамиз. Бунда чизмадаги схемага кўра бўлади. Демак, топилган тенгликларни тенгликка қўямиз ва ҳосил бўлган тенгликни каноник кўринишга келтирсак, унда

(5.13)

формулани ҳосил қиламиз. Бу формула эллипс ёки параболанинг қутб координаталар системасидаги тенгламаси дейилади.

Энди гиперболанинг қутб координаталар системасидаги тенгламасини келтириб чиқариш билан шуғулланамиз. орқали гиперболанинг фокус нуқтасини, орқали директрисасини, орқали гиперболанинг фокус

нуқтасидан директрисасигача масофани ҳамда орқали эса эксцентриситетини белгилаймиз. Шунинг билан биргаликда фокусга мос гиперболанинг шохчаси ҳамда иккинчи шохчаси бўлсин.

Гипербола учун ҳам тенглик ўринли бўлади. Чизмага кўра нуқта гиперболанинг иккинчи шохчасида ётибди. Бунда бўлади. Чунки бурчак ўтмас, шунинг учун бўлиб, бўлади. Топилган қийматларни тенгликка қўямиз ва ҳосил бўлган тенгликни каноник кўринишга келтирсак, унда гиперболанинг шохчаси учун

тенгликни топамиз. Борди – ю, нуқта гиперболанинг - шохчасида ётса, унда эллипс ёки параболаларнинг қутб координаталар системасидаги тенгламалари сингари мулоҳазалар орқали

формула келиб чиқади. Демак, гиперболанинг қутб координаталар системасидаги тенгламаси қуйидаги формула орқали аниқланади:



(5.14)