|
ни топамиз, 4 < /* = -— ^ — —— 7] бўлганлиги сабабли
Г - / п+1 < В К Р ( Р - С )
- ( 1 - — / 1 ^ 2 Г ) ((* — О -
Бу тенгсизликни кетма-кет қўллаб, /* — /;< < ?" (/* — / ) га эга бў-
ламиз, бу ерда
д
= 1 —
У \ —
2 Л < 1. Охирги ба ҳ о шунй кўрсата-
73
www.ziyouz.com kutubxonasi
дики, {/„} кетма-кетлик
(*
га чексиз камаювчи геометрик прогрес-
сия тезлигида интилар экан.
В атарлар м етоди . Энди Ньютон методидаги ҳисоблашларни
еоддалаштиришнинг яна бир усулини кўрамиз. Ньютон методида
меҳнатнинг асосий қисми
/ ( х п)
ва / ' (
х„)
ларни ҳисоблаш учун
сарфланади. Шуларнинг бирортаси, масалан,
/ ' ( х п)
ни ҳисоблаш-
дан қутулиш мумкин змасмикин деган савол туғилади. Бу бизни
ватарлар усулига
олиб келади, яъни агар
/ ' ( х п)
ни тақрибий
равишда алмаштирсак:
/ ' ( X ) Ш
/
( х п -
1
)
хп
!
у ҳолда навбатдаги яқинлашишни топиш қоидаси қуйидагича бў-
лади:
„
_ „ _
I ( Х п ) { Х п — Х п -
1)
Х п + 1 - Х п
П хп ) - ПХп_хУ
(6.36)
Б у қоиданинг геометрик маъноси қуйидагидан иборат:
у —/ ( х )
функциянинг графигида иккита
М п-\ [хп- и / ( х п-\) \
ва
М „ \ х т
/ ( х „ ) | нуқталардан ватар ўтказамиз. Ватар тенгламаси зса қуйи-
дагича:
х — х п
_
У —
К х п )
Х п
х п ~ \
/ { х „ )
/ ( х „ — \)
Агар бу ватарнинг
О Х
ўқи билан кесишган нуқтасини х„+1 деб
олсак, (6.36) қоида келиб чиқади.
Ватарлар методи икки қадамли метод бўлиб
х п+\
ни топиш учун
х„-!
ва
х„
ни билишимиз керак. (6 .3 6 ) қоидани қўллаш учун:
1) барча
х„
лар
/ (х )
нинг аниқланиш соҳасида ётиши ва
2)
/ ( х п) — / ( х „ -
1
) ФО (п =
1, 2, . . .) шартлар бажарилиши ке-
рак.
Аввал
/ ( х „ )
—
/ ( х п-\)
= 0 бўлган ҳолни кўриб чиқайлик, бу
ерда икки ҳол бўлиши мумкин: а)
х „ / = х „ - \
ва б)
х п = х п-\.
Агар
х пФ х п-\
бўлса,
Х„
Х„—\ •
/ ( х п — \ ) ( Х п — \
—
х п —
г )
/ ( Х „ - - , )
(6.37)
тенгликдан
/ ( х „ - \ ) / = 0
лигини кўрамиз. Шунинг учун ҳам
/(х„)фО
ва навбатдаги
„
___ „
/
( х п )
( х п
—
х п — \)
Х"+1
т ( х „ ) - / ( х п- \ )
яқинлашишни қуриш мумкин бўлмайди. Процесс шу ерда узилади
ва ечимга олиб келмайди.
Агар
х„
=
х п-\
бўлса,
х 0,
х ь . . . ,
х„-\, х„
ларни қуриш мум-
кин,
х 0, X,,
, х
п - 1
лар ўзаро фарқли ва
/ ( х к
) —
/ ( х к-\) =/
0
(к
= 1,
п
— 1) деб ҳисоблаймиз. (6.37) тенгликдан кўрамизки,
/ ( х п—\)
= 0 ва
х„-\
берилган тенгламанинг ечими эканлиги келиб
чиқади. Бу ҳолда кетма-кет яқинлашишларни
х„
гача бажариш
мумкин, шу билан бирга иккита устма-уст тушадиган
х п-\
ва-х„
қийматлар берилган тенгламанпнг ечими бўлади. Илдиз рационал
сон бўлганда, шундай ҳол бўлиши мумкин.
74
www.ziyouz.com kutubxonasi
Энди биз юқоридаги 1), 2) шартлар бажарилган деб фараз қн-
либ, ватарлар методининг яқинлашишига тўхтаб ўтамиз. Хато $„=*»
■«5 —
Хп
учун (6.36) дан
е«+1 — ®л +
( 8 Я—1 е л ) / ( £
Ея )
/ ( 6 - « Я) - / ( 6 - » Л - 1 )
муносабатни чиқарамиз. Агар биз бу ерда / ( £ —
е„)
ва /( £ — е„_
1
)
ларнинг хатолар даражаларига нисбатан ёйилмалари
/ ( Е - 0 = - / ,(5К + |л ? ) 4 + ...,
/(| -
= -/(!)-*„_,
+ ў л ? ) 4 - ! +
...
ни қўйиб, тегишли амалларни бажарсак, қуйидаги тақрибий
е „ + 1 « — д
е"-1£л
(6.38.)
тенгликка зга бўламиз. Агар бу тенгликни Ньютон методи учун
чиқарилган (6.31) тенглик билан солиштирсак, ватарлар методида
хатонинг ўзгаркш қонуни Ньютон қоидасидаги қонунга яқинлиги-
ни кўрамиз.
Ньютон методининг яқинлашиши ҳакидаги 1 -теоремага ўхшаш
қуйидаги теорема қам ўринлидир.
5 -
т е о р е м а . Агар
/ ( х )
функьия ва дастлабки яқинлашиш
х 0
1- теорема шартларини қаноатлантирса ва бундан ташқари
х г
учун
| + —
х 0
1 < 1 ~
У',!^
-П
= '
**
ва
\/ { хг)
| <
Р (\хг
- х 01) =
Р(1г)
тенгсизликлар бажарилса, у ҳолда:
1) (6.36) қоида билан аниқланган
х„
яқинлашишлар чекли қа-
дамдан кейин ечимга олиб келади, ёки
х„
ларни барча
п
лар учун
қуриш. мумкин бўлиб, улар яқинлашувчи кетма-кетликни ташкил
этади
\ \ тх п—
П-*-
со
2) лимитдаги киймат ?
/ ( х ) =
0 тенгламанинг ечими бўлади;
3) яқинлашиш тезлиги || —
х„\
<
I*
—
1П
тенгсизлик билан ба-
қоланади, бу ерда
1П
(6.13) тенгламанинг кичик илдизи учун
/ = 0
ва б, =
\хх
— лс0| дан бошлаб ватарлар усули билан қурилган кет-
ма-кет яқинлашишлардир.
Бу теоре-манинг исботини [8] дан қараш мумкин. Энди бу ме-
тодни мисол ечишга татбиқ қиламиз.
М и с о л.
’
/ (
х
) =
х*
—
4х3
+
2х
2 + 12лг — 15 = 0
тенгламағинг мусбат илднзи 10-6 аниклик билан топилсин.
Е ч и ш. Биз юқорида кўрган эдикки, изланаётган илдиз (1,5; 1,75) ора-
лиқда ётади ва ж0=1,75 нуқтанинг яқин атрофида 5 - теореманинг барча
шартлари бажарилади. Бу ерда
ҳ г
= 1,72 деб оламиз. У вақтда
\ х г
— л:0| =
«• 0,03 < 2 = 0,588 ва / (1,72) <
Р
(0,03) эканлигини кўрсатиш мумкин.
75
www.ziyouz.com kutubxonasi
Шундай қилиб, 5- теореманинг ҳамма шартлари бажарилади. Демак,
{хп}
кетма-кетлик 5 илдизга интилади. (6.36) қоилага асосан
х 2
ни топамиз:
, „н
/(1 ,7 2 )(1 ,7 2 — 1,75)
х 2
— 1,75
/(1,72) — /(1,75) — 1,7288829.
Яна учта яқинлашишлари қуйидагидан иборат:
х 3
= 1,7320622;
х 4
= 1,7320508; х6 = 1,7320508.
Download Do'stlaringiz bilan baham: |
