Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

келиб чиқади, « = 2 бўлганда эса
т* - т2 <
к
 (х* - ^ ) 2 <
к (2к)2
 = I (2/г)3.
Бу баҳолашларни давом эттириб, 
п-
 
қадамда
т* — т„
2п
Х
~ { 2 к )
2/1-1
га эга бўламиз. Шу билан теорема исбот бўлди, чукки
| X* : -
Хп\
< / * - / „ =
71 ((*
 
- Х„) 
< ^
 
(2
к)
2«_1
Изоҳ. Бу теоремадан кўрамизки", 2/г < 1 бўлганда т* — т„ жуда тез нолга 
интилади, қўпол қилиб айтганда 
п
дан 
п
+ 1 га ўтганда хато ўзининг ква- 
дратига ўзгаради, яъни яқинлашиш квадратик қонунга бўйсунади.
68 
^
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Амалда қўллашга қулай бўлсин учун т* — 
тп
нинг 
п
ва 
Н
га боғлиқбўл- 
П
1
Н 
жадвалини тузиш мумкин. Бундай жадвал қуйида (5- жадвал) 0 <
Н <
<
~ 2
ва 
п
=. 1, 5 лар учун келтирилган.
5- жадвал
X
0
I
2
3
4 
.
£
0,05 1,026
2,63-10-2
1,83-10-5
8 ,7 7 -10- 12 2,03-10-21
0,10 1,056
5 ,5 7 .1 0 -2
1,73' 10-4
1,66-10-8
1,55- Ю-1»
0,15 1,089
8,89-10-2
6 ,9 8 -Ю-1
4,36-10-8
1,77-10-«
0,20 1,127
1,27-Ю-1
2
,
02
-Ю -з
5,25-10-7
3,56- 10-и
0,25 1,172
7 ,2 0 -Ю-1
4,91-Ю -3
4,25-10-8
3,19-10-12
1,80-10-24
0,30 1,225
2 ,2 5 -10-1
1,09-10-2
2,78- 10-ь
1,84-10-1°
8,02-10-21
0,35 1,292
2 ,9 2 -Ю-1
2 ,3 0 -1 0 -2
1,66-10-*
8,85-Ю -з
2,50-10-1’
0,40 1,382
3 ,8 2 -Ю-1
4,96-10-2
1,01-10-з
4,59-Ю-7
9,42-10-14
0,45 1,519
5,19-10“ 1
1,10-10-1
7,49- Ю-з
3,95-10-6
1,11-10-з
0,50 2
1
С
Л
О О
о
2 ,5 0 -10-1
1,25-10-1
6,25-10-2
3- 
теорема 
(илдизнинг ягоналиги ҳақида). Фараз қилайлик,/(х)
функция учун 1- теореманинг шартлари бажарилсин. Агар 
к
<
бўлса, у ҳолда / ( х ) = 0 тенглама
' 
\ х —
 л:01 < 5 < Р *
==) + / \ - 2 Н
^
(6.24)
оралиқда ягона | ечимга эга бўлади. Агар /г = у бўлса, | ечим
| д: — 
х
01 ^ 8 = /** 
=
 27) 
(6.25)
оралиқда ягона бўлади.
И сбот. 1- теореманинг шартлари бажарилганлиги учун / ( х ) = 0
тенглама (6.24) оралиқда § ечимга эга (чунки (6.24) оралиқ (6.7)
оралиқнинг қисмидир). Биз бу ерда 
/ (х)
= 0 тенгламанинг ҳар
қандай бошқа I ечими 
I
билан устма-уст тушишини кўрсатамиз.
Фараз қилайлик, / г < ; ў бўлсин. Бу ҳолда (6.13) квадрат тенглама
иккита ҳар хил 
(*
ва /** 
илдизларга зга. Энди | (6.1) тенглама-
нинг (6.7) оралиқдаги бирор илдизи :бўлсин. (6.24) тенгсизликка
кўра
| 1 - х 0| = 0 / * * ( О < 0 < 1 )
(6-26)
бўлади. / ( £ ) = 0 бўлганлиги учун
^ - 1 =
7
^ - ) [ / ш —/(*<>) -
Г М
( 1 -
х 0)].
Тейлор формуласига кўра
х
1
—
Ь =
 / г ^ / ~ 1 г ( Л — х о У
( С £ ( Л > х о ) ) -
69
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

1 - теоремани исбот қилиш жараёнида ҳосил бўлган 
\ ў (хп)
^■Р'((п)
 | тенгсизликни назарда тутиб, (6.8) ва (6.25) дан қуйида-
гига эга бўламиз:
I
^
< т т к я + №
- * • I1’ ■< и й я
'$г‘
Осонлик билан кўриш мумкинки,
Р
( 0
- ^
К Р +
Р ' ( 1 0 ) ( г - г 0 ) +
Р ( * 0 ) .
Бундан эса,
1 
К Р * 2 = ’
2Р’ (Р)
Р’
(*о) И * * * )
- Р ( * о )
- ( < * * - < о ) ^ ( < о ) ] —
 * * * +
+ V
(*о)
= / — /**.
Буни олдинги тенгсизликка қўйиб, керакли баҳони чиқарамиз:
Ц — х ^ К О * (*** — /,).
Б у мулоҳазаларни 
п
марта қўллаб
|Е — л : „ |< 6 2" ( ^ * — ^ ) < 6 2Л/** 
(6.27)
тенгсизликка эга бўламиз. Бундан 0 
< 1 
миқдор 
п
 
га боғлиқ бўл-
шаганлиги сабабли 
х п- + - \
Знди |1 — 11 < |1 — 
х п
 | + | 
х п
 — || -> 0
^ 
«-»-00
:му носабатдан £ = £ келиб чиқади.
Агар 
Н =
■
—
бўлса, у ҳолда (6.25) тенгсизлик ўринли бўлади.
Д емак, 6 = 1, А (/) нинг ҳар иккала илдизи устма-уст тушади: 
Р*
=
=
(*
ва 
Шунинг учун ҳам, (6.27) тенгсизликдан биз яна
\ I
 — 
х п
 | 
0 га эга бўламиз. Шу билан теорема исбот бўлди.
М и с о л. /
( х )
 
= 
х*
— 4лг3 +
2х
3 + 12лг — 15 = 0 тенгламанинг мусбат ил- 
дизи 10~8 аииқлик билмн топилсин.
Е ч и ш. /(1 ,5 ) = — 0,9375 ва / ( 2 ) = 1 бўлганлиги учун дастлабки яқин- 
лашиш 
х 0
сифатида шу оралиқнинг ўртасини оламиз: 
х 0 —
1,75. Бу нуқтада
/ (1,75) = 0,10859375; / ' (1,75)=3,68725; — ^ |у = 0,02939629;
/'(1 ,7 5 ) < °'272'
Демак, •»] = 0,0294 ва 5 = 0,272 деб олишимиз мумкин, 0 < 
й 
< -£ - бўлганда, 
I — / 1— 2/1
I < -------^-------- < 2 бўлади, шунинг учун 5 = 2<] деб олиб 
/ " (х)
ни | 
х
—
— 1,75 | < 2т] оралиқда баҳолаймиз. Осонлик билан кўриш мумкинки, 1,6912 <
-< 
а
: < 1,8088 оралиқда /"(л :)= 1 2 л :2 — 24л: + 4 монотон ўсувчи функция, 
-шунинг учун ҳам / "
(л:) 
ни 
х =
1,81 нуқтада ҳисоблаймиз: /"(1,81) = — 0,1468. 
Демак, 
К
= 0,147 деб олишимиз мумкин, 
й 
=
В К
т; = 0,00118 < 0,05. Бундан 
кўрамизки, 3- теореманинг ҳамма шартлари бажарилади, яъни қаралаётган 
оралиқда ягона ечим мавжуд ва 
х п
кетма-кетлик бу ечимга яқинлашади. 
.Хатони баҳолаш учун 5 - жадвалдан фойдаланамиз, 
Н
= 0,05 бўлганда 
т*
—
х3 =•
<= 0,877-10-11 бўлгани учун
1*3 — 51 <0,0294-0,877-10-11 < 0,3-Ю-1а
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

теагсизлик ўринли бўлади. Демак, }члнчи қадпмда илдизни ҳатто 12 хон» 
аниқлик бйлан топган бўламиз. Бизга 8 хона аниқлик етарли эди, бу аниқ- 
ликка эриши|л учун 
п 
—
3 деб олиш кигроядир. й = 0,0012 учун 5- жадвалдгл 
г* — т2 нинг қиймати кўрсатилмаган, шунинг учун ҳам биз 2- теоремадаа 
фойдаланамиз:
и 2 — | | < 2 ^ (2-0,0012)22-
г
.0,0294 < 2,1-10-ю. 
'
Ҳисоблаш натижасида қуйидаги қийматларга эга бўламиз:
д: = 1,75; 
Х1=с
1,75 —
/(1,75)
/'(1 ,7 5 )
1,75 — 0,02939629 = 1,72060371;
х 2 = 1,72060371 —
/(1,72060371) 
/'(1,72060371)
лг4 = 1,732050807.
1,73202091$
лг3 = 1,732050807;
Каррали илдизлар учун 
Ньютон 
методи. 
Ньютон 
методи 
тенгламаларни ечиш методлари ораеида знг дастлабкиларидан бири-
дир. Шунинг учун ҳам яқинлашиш тезлигини орттириш ёки ҳи -
соблашларни соддалаштириш мақсадида бу методни ўзгартиришг
йўлида жуда кўп уринишлар бўлган. Шуларнинг айримларига тўх~
талиб ўтамиз.
Шу вақтгача 
х п
кетма-кет яқинлашишлар ётган оралиқда 
/ ' ( х ) ў
= + 0 д е б фараз қилинган эди, бундан ташқари 
ў ( 0 ) ф
 0, яъни |
туб илдиз бўлган ҳол қаралган эди. 1870 й. Э. Шредер 5 илдиз
р
 - каррали бўлган ҳолни текшириб чиқди. Биз ҳозир ана шу ҳол-
ни кўриб чиқамиз. Биз аввал 
р
 /> 1 бўлганда Ньютон кетма-кет-
лиги яқинлашишининг секинлашишини, сўнгра бу кетма-кетликнн
керакли равишда ўзгартирилганда унинг тез яқинлашишини кўрса-
тамиз. £ 
/ ( х )
нинг 
р
 - каррали илдизи бўлгани учун, | ечим ат-
рофидаги 
/ ( х )
нинг Тейлор қаторидаги ёйилмаси қуйидагича б ў -
лади:
] (х) ~ с р ( х - 1)Р
 + + +] 
(х
 -
+ . . . +
Ст( х - 1 ) т
+
к т( х \
(к = = р ' р + 1 '
• • • ’ 
т)-
 
(6>28>
Фараз қилайлик, 
х п
лар Е га яқин бўлсин, у ҳолда 
гп = \ — х ю.
кичик миқдор бўлади. Ньютон қоидасидан 
&п
билан еп+1 орасидаш
муносабатни чиқарамиз:
В п
+ 1 —
е п +
/ (£ — еп) 
/' (?— з
„)'
(6.29>
(6.28) ёйилмада фақат иккита бош ҳадларини сақлаб, қуйидагн-
ларни ҳосил қиламиз:
/ а - вп)-
:
( —
[с р ВП
— £р+) Е«+1 + • • •].
/ ' ( +
вп)
1
( — 1 
) Р
1 
[ р с р е,
р
П
Р
—1
-1
/ ' ( 6 - е Л)
/(« •
= ( - Пр
Р СР
з Г 1
■ е л )
Г(£— п>
(р
(р +
1)
Р с р
1й
 [ 1 
Ср+1
р V ^ ср
+■ 
1
) 
с р + \ еп
+ •••]» 
Р р
+ 1 £ Л
+
• •
»
а
+ • • • ]•
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Охирги тенгликни (6.29) га олиб бориб қўямиз:
е л + 1 =
Бунда фақат битта бош
ликка эга бўламиз:
ь
С р
+ 1 
Р 2Ср
£
+
ҳадни қолдириб, қуйидаги тақрибий тенг-
еп+1
0
Бу тенглик шуни кўрсатадики, 
еп
тақрибан махражи ў = 1 
— ~
га
тенг бўлган геометрик прогрессия қонуни бўйича камаяди. Буни
/ ' (I) Ф 0
бўлган ҳол билан солиштириб кўрсак, р > 1 бўлганда
яқинлашиш тезлигининг сустлашишини кўрамиз. Ҳақиқатан ҳам,
0 = / (I) = / (I -
еп)
 +
г п / > ( I -
 е„) +
" 1 / " ( I -
6 е„) (0 < 6 < 1)
тенгликдан ва (6.29) дан
. 
______/ ' ( 6 - е »я) .2
"+1 
2 / ' ( « - « » )
п
(6.30)
ни ҳосил қиламиз, бунда 
е п
 
ни етарлича кичик деб олиб, е
„+ 1
би-
лан 
еп
 
орасидаги
^/1+1 
^
 
^п
 
(6,31)
муносабатни ҳосил қиламиз. Бу ерда 
е п
 
квадратик қонун билан
камаяди. 
р
 > 1 бўлганда яқинлашиш тезлигини орттириш учун
Ньютон қоидасини
^ + 1 = + - Р
^
} 
(6.32)
га алмаштирамиз. У ҳолда (6.30) дан е
„+ 1