Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

Х2
Хп0))
маълум бўлсин, е = (е .[, г2
■
 
X
(
0
)
&
у ( 0 )
Л\
»
■х10)
(
0
) \
Хп
) вектор-хато-
,)
ни белгилаймиз. (6.39) системада 
х
 
ўрнига х (0> + 6 ни қўйиб, ҳо-
сил бўлган системгнинг чап томонини еь 
г2, 
ларнинг
даражаларига нисбатан Тейлор қаторига ёйиб, е,, е2, . . . , 
гп
га
нисбатан чизиқли қисмини сақлаб, қуйидаги тақрибий системага
эга бўламиз:
, < + (* (0))
ох„
“11'
д М ^ )
ОХ\
£1 +
- Ш
0)),
д / п( х {0))
Ох,
+
+
д / п ( х {0))
дхп
(6.40)
- / „ ( + 0)).
е<°)
Бу системани ечиб, хатонинг тақрибий қиймати е(0) = ( е (0),
е<°)) ни топамиз. г(0) ни 
х (0)
га қўшиб, навбатдаги яқинлашиш век-
торини ҳосил қиламиз:
Х(1) = Ҳ(0) + е(0) = (л:(о) + 6.(0), . . , , 
х<0)
+ е^)).
с
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Ўз
навбатида х (1) ни яхшилашимиз мумкин, бунинг учун 
х {0)
ўр-
нига 
х {1)
ни қўйиб, (6.40) кўринишдаги системани тузиш керак.
1Лундай қилиб, агар (6.40) кўринишдаги системалар ечимга эга
бўлса, биз кетма-кет яқинлашишлар векторларини топамиз.
Қулайлик учун Якоби матрицасини киритамиз:
Г 
д
/т 
(х)
д Ў
1
 (х)
П
/ * ( * ) =
дх^
• ’ 
д ў п( х )
д х п
д ў п (х)
дхх
" "
дхп
(6.41)
Бу матрица ёрдамида (6.40) системани қуйидаги битта вектор-сис-
тема шаклида ёзишимиз мумкин:
“ 
Л ( х (0))в (0) = - / ( х 101). 
'
Фараз қилайлик, 
х = с
нуқтада 
/ х (1)
махсусмас матрица бўлсин.
Детерминант ўз элементларининг узлуксиз функциялари бўлганли-
ги учун х = £ нуқтанинг бирор 
О
атрофида (6.40) махсусмас мат-
рица бўлиб, унинг тескариси 
/ / 1 (х)
мавжуд бўлади.
Фараз қилайлик, 
х {0)£О,
у вақтда (6.41) нинг ҳар иккала томо-
нини 
/ / 1 (х{0))
га кўпайтириб,
в(0)=
- / / 1(х{0)) / ( х {0))
ёки 
.
х ^ - х ^ ^ - / / 1^ ) / ^ )
ни ҳссил қиламиз. Агар 
х {1), х {2),
. . . , 
х {к)
лар 
0
атрофида ётса,
у ҳолда х (А+1)ни
х {к+1)
 =
х {к)-
 / Т 1 (х (й)) 
/ ( х {к))
 
(6.42)
теиглшдан топамиз. Б у 
х {к)
 
кетма-кет яқинлашишларни топиш
учун Ньютон қоидасидир. Бу қоиданинг амалга ошиши учун 
х {к)
(к =
 0, 1, 2 ,...) лар / (х) нинг аниқланиш соҳасида ётиши в а Л
(х{к))
матрицалар махсусмас бўлиши керак.
Биз ҳозир Л. В. Кантаровичнинг (6.42) Ньютон жараёнининг
яқинлашиши ҳақидаги теоремасини исботсиз келтирамиз.
6 - теор ем а. Агар / (х) вектор - функция ва дастлабки яқин-
лашмш вектори 
х {0)
қуйидаги шартларни қаноатлантирса:
1) х (0) нуқтада 
/ х (х{0))
Якоби матрицасининг детерминанти А =»
= А 
( / х
 (д:(0>)) нолдан фарқли ва 
элементнинг алгебраик тўлди-
рувчиси Д д бўлиб ва
П 
'
'
ш
2 | Л;А1 < 5
(к = Т^Г)
баҳо ўринли бўлса;
77
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

2) |/г ( * (0))Г3) х (0> нннг
! х { — х , <0) | 
2В
у
]
атрофидаги барча нуқталар учун
2 2
6=1 /=1
д х^ 0хк
(/ = 1, 
п)
(I
= 1, 
п)
тенгсизликлар бажарилса;
4) 
В,
 т), £ миқдорлар
/г = 5 2т ) 1 < 1
(0 )
шартни қаноатлантирса, у ҳолда 
х
 
нуқтанинг
I 
х 1 ~
* / 0>| <
Х~ ^ н ~ 2Н Ву]
 
(/ = 1 ’ ^
атрофида (6.39) система ягона с =
(Е
л, £2, . . . , 
сп)
ечимга эга бў-
либ, (6.42) билан аниқланган 
х {к)
 =
(х[к), х ]к),
. . . , 
х („к)
)Ньютон
кетма-кетлиги яқинлашади ва шу билан бирга, яқинлашиш тезлиги
шах | 
х\к)
— ^ 1 <
(2/г) 2* ‘ 
Ву]
1 
<1<п 
^
тенгсизлик билан баҳоланади.
Шунга ўхшаш теоремани Ньютоннинг модификациялангац ме-
тоди учун таърифлаш ва исбот қилиш мумкин.
Шуни ҳам таъкидлаб ўтиш керакки, (6.40) систёмада тенглама-
лар сони иккита бўлганда бу системани детерминантлар ёрдамида
ечиш керак. Тенгламаларнинг сони иккитадан кўп бўлса, бунлай
системаларни кейинги бобда келтириладиган методларнинг бирор-
таси билан ечиш маъқулдир. Агар бизга иккита
( / ( * > у ) = о .
I 
& (х , У)
 = 0
тенгламалар системаси берилган бўлса, у ҳолда (6.42) қоида қуйи-
дагича ёзилади:
х к+\
х к
V
X ё у
/ у
ё х )
У = Ук
(й = 0, 1, 2, . . .)
Уь
+1 — 
Ук
/
/ х ё — ё х / \  
\/хёу—/у£х }
Х = Х Ь,
У = У к
•
М и с о л. Қуйидаги
/ /
(х,
л :)= х З + 2 у 2 - 1 = 0 ,
I 
£ (х, У)
= 5у3 
+ х 2 — 2ху
— 4 = 0
«истеманинг илдизи 10~6 аниқлик билан топилсин. Бу функцияларнинг 
гра”
фикларини чизиб кўрсатиш мумкинки, 5 ва ш мос равишда (— 0,7; — 0,6) в*
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

(0,7; 0,8) оралиқларда ётади. Шунинг учун ҳам л:(0)= — 0,6 ва 
= 0 ,8 деб 
олишимиз мумкин. Берилган функцияларнинг ҳосилалари қуйидагилардан 
иборат:
/ х = Зх~’ / у =
4у, 
§ х = 2 х —
2у, 
= 15>'2 — 
2х.
Ҳисоблашлар натижасини келтирамиз:
дг(°) = — 0,6; у(0) = 0,8; / (0) = 0,064; £ (0> = — 0,12; /<.0) = 1,08;
/у0) = 3,2; ^ 0)= .— 2,8; 
^
= 10,8; 
х (1)
= — 0,65213; у(1) = 0,79760;
/ (1> = —0,00502; £ (1) = 0,00254, 
/ {1)
= 1,27583; 
/ {1)=
3,19038; 
/ ()=
—2,891.46; 
£ {1)
= 10,84663; л:(2> = — 0,64942; 
у(2) = 0,79809; / (2) = — 0,00001;
£ (2) = — 0,00001; 
/ {Р
= 1,26525; /<,2) = 3,19234; £ (2) = — 2,89502; 
ё (у }
= 10,85296; 
х (г)
= — 0,64942; у(3) = 0,79809.
Демак, $ = — 0,64942 ва 
1
] = 0,79809.
М а ш қ л а р
1. 
Р (х)
кўпҳадни 
(х
— 
а) (а
> 0) га бўлганда Горнер схемасидаги 6; лар 
қуйидаги шартларни қаноатлантирсин:
Ьа — а
о > 0, 
Ъ^>
0 ( 1 = 1 , 
п).
У ҳолда 
Р ( х )
нинг барча илдизлари 
а
дан кичик эканлигини кўрсатинг.
2. Фараз қилайлик, р — ихтиёрий мусбат сон бўлсин, у ҳолда
Р (х)
=
а0 х п
+
ах х п~1 +
. . . +
ап
кўпҳаднинг барча илдизлари модуллари бўйича
р + т а х I 
ак
___ I
1<к<п
| 
а0
р« —1 |
дан ортмаслигини кўрсатинг.
3. Коэффициентлари ҳақиқий бўлган 
Р (х)
=
аа х п
+
+ . . . +
ап
(а
а > 0) кўпҳаднинг ҳақиқий илдизлари
дан ортмаслигини кўрсатинг, бу ерда 
р 
— ихтиёрий мусбат сон, 
к
 
— биринчи 
манфий коэффициентнинг номери, 
а
^ — манфий коэффициентлар.
4. Фараз қилайлик, 
Р 
(х )
— аах п
+
а \ Х
п~ 1 + . . . +
ап
нинг барча коэф- 
фициентлари мусбат бўлсин.
Қуйидагиларни кўрсатинг:
а) агар 
аа
> 
> . . . >
ап
шарт бажарилса, у ҳолда 
Р (х)
нинг барча
илдизлари бирлик доира | 
х
| > 1 дан ташқарида ётади;
б) агар 
а0
< 
ах . . .
< 
ап
шарт бажарилса, у ҳолда 
Р (х)
нинг барча ил- 
дизлари | л: | <ў 1 бирлик доира ичида ётади.
5. Агар 
Р ( х ) = а 0х п
+
а1х п~'-
+ . . . +
ап
кўпҳаднинг барча коэффи- 
циентлари мусбат ва
т
= шШ 
— к
. , 
М
= т а х —5*—
1 
<к<п
й д
_ 1
1<*<ге Яд,— 
1
бўлса, у ҳолда 
Р ( х )
нинг барча илдизлари 
т
< | л: I <
М
тенгсизликларни 
қаноатлантиришини кўрсатинг.
6. Фараз қилайлик, 
х
п + 1
= <р 
(хп)
ва 
х
п + 1
—
ф 
(хп)
лар мос равишда 
г
ва
р-
тартибли итерация бўлсин. У ҳолда 
,
_ _ , 
хп (?
№ 
(Хп)] — у(Хп)'Ъ(хп)
. х„+1 - V (Хп) - Хп- 9
( * и) _ ф
(Хп) +
ср [ф 
(Хп)}
итерациянинг тартиби 
г + р
— 1 дан кам эмаслигини кўрсатинг.
79
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

7.
Чебишев методидан фойдаланиб, 
N
ва 
ларни ҳисоблаш учун 
Вккинчи ва учинчй тартибли итерацион жараён тузинг.
8
.
Қуйидаги
(
51п 
(х + у)
— у = 0,
\ Соз 
(х
— 
у)
— 
у
= 0
системанинг ечимини беш хона аниқликда Ньютон методи билан топинг.
3- 
Б 
0
Б. 
ЧИЗИҚЛИ АЛГЕБРАИҚ ТЕНГЛАМАЛАР 
СИСТЕМАСИНИ ЕЧИШ
1- §. ДАСТЛАБКИ МАЪЛУМОТЛАР
Назарий ва татбиқий математиканинг кўпгина масалалари
чизиқли алгебраик тенгламалар системасини ечишга олиб ке-
лади. Масалан, функцияни унинг 
п
-\-1 та нуқтада берилган
қийматлари ёрдамида п-тартнбли 
кўпҳад билан интерполя-
циялаш ёки функцияни ўрта квадратлар методи ёрдамида яқин-
лаштириш масалалари чизиқли алгебраик тенгламалар снсте-
масини ечишга келтирилади.
Чизиқли алгебраик тенгламалар системасини ҳосил қилнш-
нинг асосий манбаи узлуксиз функционал тенгламаларни чек-
ли-айирмали тенгламалар билан яқинлаштиришдир. М асалан,
Л аплас дифференциал оператори учун Дирихле масаласпни
тартиби юқори бўлган оддий чекли-айирмали тенгламалар сис-
темаси билан алмаштириш мумкин. ЭҲМлар яратилиши билан
бундай масалалар яна ҳам кўпайиб бормоқда.
Бир жинсли бўлмаган чизиқли алгебраик тенгламалар сис-
темасини ечиш масаласи билан матрицаларнинг тескарнеини
топиш ва детерминантларни ҳисоблаш масалалари узвип ра-
вишда боғлангандир. Бу масалалар назарий жиҳатдан осон-
гина ечилади. Лекин матрицаларнинг тартиби ортган сари бу