|
кўпҳаднинг коэффициентлари қуйидаги формулалар билан ҳисоб-
ланишини эслатамиз:
1
%
2 ^
а 0
= — ^ /(с о з 6)^9,
ак
= — | / ( с о з 0)соз& 0
М (к
> 1);
энг кичик оғишнинг миқдори
ьп
эса
1
1
ч - 1 №
) - ^ №
ғ т
Ь
=
- 1
'
- 1
'
[2
а1 + а \ + . . . + а1\
формула билан ифодаланади.
Мисол сифатида
? ( х ) = \ х \
функцияни [—1, 1] оралиқда рС*) = (1 —
__
— х 2)
2
вазн билан ўрта квадратик маънода энг яхши яқинлаштирадигаш
кўпҳадлар кетма-кетлигини топамиз. Бизнинг ҳолда
1
а п —
— \ |соз
6
|соз
п
0
71) «у
й0
бўлгани учун
й° ~
тГ’
й2п+1 '
0,
2п
4 (*
= — I соз 0 со
5
2
п в с Ю
п ^
- 0
я
4я2—1
лар осонгина топилади. Шунинг учун ҳам
2 , 4 ^ (—1)п+1
( л - 1 , 2 ,..)
4
г $
— 1
Т2п(Х)
бўлиб, 0, 2, 4- тартибли ўрта квадратик маънода энг яхши яқинлашувчи кўп-
ҳадлар қуйидагилардан иборатдир:
О о ( х )
= —,
0 2( х )
= 21 (4л
:2
+ 1),
Ч / х )
= /
(—16лг4 4- Збл
:2
+ 3)
то
З п
1
ол:
(
2 0
- чизма).
2 -т е о р е м а . Агар [— 1, 1] оралиқда
/( х)
функция биринчи,
тартибли
узлуксиз
ў ( х )
ҳосилага эга
бўлса, у ҳолда
/ ( х )
функциянинг Чеби-
шев биринчи тур кўпҳадлари бўйича
Фурье қатори [— 1, 1] оралиқда
/ ( х )
функцияга текис яқинлашади.
Чебиш евнинг иккннчи тур к ўп -
ҳадл ар и .
Чебшиевнинг иккинчи. тур
кўпҳади
деб аталувчи
и п(х)<
$
1
п [(н +
1
) агс созл:]
'
у
1
— л
:2
18—2105
27Э
www.ziyouz.com kutubxonasi
Тп+\(х)
П+
1
( * . - 0, 1, 2 ,...)
жўпҳад [— 1, 1] оралиқда
р(х) = у г
1 —
х 2
вазн
•еистемани ташкил этади. Унинг нормаси
билан
Р п \ \
=
х 2/ / 2( х ) У х = = ] / у
са тенг бўлиб, улар учун рекуррент муносабат
11п+\{х)
=
2хЦп(х)
—
С/п-
1
(х)
ортогонал
дан иборатдир. Чебишев иккинчи тур кўпҳадларининг дастлабки
■еттитаси қуйидагилардир:
а д - 1 ,
£ / ( х ) =
2х,
Уъ(х) => 4 х
2— 1,
и з(х) = 8х 3 — 4х,
(У4(х)
=
\ 6х
*— 12х2 + 1,
а ,( х ) = 3 2 х 5 — 3 2 х 3 + 6х,
[ /6(л:) =
64хг>
— 8 0 х 4 + 2 4 х 2 — 1.
[— 1, 1] оралиқда р(х) = ] / 1 — х 2 вазнда квадрати билан ин-
тегралланувчи
/(х)
функция учун Чебишевнинг иккинчи тур кўп-
ҳадлари ёрдамида тузилган энг яхши яқинлашувчи
П
<2п{х)
= 2
а кЦк(х)
к=
0
кўпҳаднинг коэффициентлари
1
"
а А= — | / ( с о з 0 ) з т 0 - 5 т ( & + 1) 0
й
?0
■формула билан ҳисобланиб, энг кичик оғиш миқдори эса
1
1
|
[ / ( х )
- р„(х))2/ 1
— х ^ х
= | / + Г + ! / 2(х)й(х —
-1
--1
л
формула билан аниқланади.
Мисол сифатида
/ ( х )
= |х| функцияни [—1, 1] оралиқда р(х) = / 1 —
х 2
вазн билан ўрта квадратик маънода энг яхши яқинлаштирадиган кўпҳадлар
кетма-кетлигини топамиз. Бу гал
.
1
*
а „ =
— [ |соз
01
з
1
п
0
з
1
п(и +
1
)
0
«?
0
П *)
—я
^бўлиб,
2 7 4
www.ziyouz.com kutubxonasi
С_п * + х
Л2А+1 “ °> Й2А = ----------X
4
Х (2
к
—1)(2
к +
3)
(к
= 0, 1, 2,.г.
ларни топиш қийин эмас. Шунинг учун ҳам
О
О
4
( _
1
)п+!
(2л — 1)(2я + 3)
бўлиб, 0, 2, 4- тартибли ўрта квадратик маънода энг яхши яқинлашувчи кўп~
ҳадлар қуйидагилардир:
4
8
4
<Зо(-«) = тр, ОаМ - 7 ^ (6 + 3 + 1),
= 7 ^ - ( -
оя
15тс
105тс
-80х4+144л:2+ 9 ) (21- чизма)»
3 - т еор ем а. Агар [— 1, 1] оралиқда / ( х ) функция учинчи тар-
тибли узлуксиз ҳосилага эга бўлса, у ҳолда / ( х ) нинг Чебишев
иккинчи тур кўпҳадлари бўйича Фурье қатори ўша оралиқда
/ ( х )
га текис яқинлашади.
Л агерр к ўп ҳадл ар и . Энди чексиз оралиқларда ортогонал бўл-
ган кўпҳадларни қурамиз.
Лагерр кўпҳадлари,
деб аталувчи
лп
и Л х ) —
(—
\)пх ~ аех
----
(ха+пе~х)
с1хп
кўпҳадлар [0, оо) оралиқда
р(х) =
х х е~х
( х > 0 ,
а
> — 1)
вазн билан ортогонал системани ташкил этади.
Бунинг нормаси
\Ц%\х)]*с1х
—
У
п\
Г(а +
п
+ 1)
га тенг бўлиб, улар учун
А И / х ) — (х —- а — 2
п —
1 ) 1 / ( х ) +
п(
а +
п)Ца}_}(х) —
0
рекуррент муносабат ўринлидир. Лагерр кўпҳадларининг биринчн
б таси а г=г 0 бўлганда қуйидагилардан иборат:
№ ) = 1,
А (х ) = — х + 1,
Ц(х)
= х 2 —- 4 х + 2,
А3(х) =а — х 3 + 9 х 2 — 18х + 6,
А4(
х
) =
х 4 — 16х3 + 7 2 х 2 — 9 6 х + 74.
А г а р /( х ) функция [0,
оо)
оралиқда р(х) =
х а е~х
вазнда квадра-
ти билан интегралланувчи бўлса, даражаси
п
дан ортмайдиган к ўп -
ҳадлар орасида
0_п(х)
=
^ а к1%\х)
0
275
www.ziyouz.com kutubxonasi
-кўпҳад шу оралиқда ўрта квадратик маънода энг яхши яқинла-
.шувчи кўпҳад_ бўлиб, бу ерда
а к
1
к\
Г (а +
к +
1)
| х 3
е~х/(х)Вп1)(х)с1х.
Қуйидаги теорема ўринлидир.
4 -т е о р е м а . Агар [0,
х>)
оралиқда
/ ( х )
бўлакли-силлиқ функ-
дия бўлиб,
оо
X
а.
1
|
е
2
х 2
2\/(х)\йх
о
интеграл мавжуд бўлса, у ҳолда
/ (х )
функциянинг Лагерр кўп-
ҳадлари бўйича Фурье қатори
/ (х )
нинг узлуксизлик нуқталари-
Да шу функциянинг ўзига, унинг узилиш нуқталарида эса
[/(х
—
— 0) +
/ ( х
+ 0) ] га яқинлашади.
Эрмит к ўп ҳадл ар и .
Эрмшп кўпҳадлари
деб аталувчи
йп
В Д = ( -
х у е Г - ^ е г *
кўпҳад (—
о о , со)
оралиқда
р(х)
=
е~х'
вазн билан ортогонал
-системани ташкил этади. Бу кўпҳаднинг нормаси
11я «!1 - 1 / 1
е~х'Н1(х)с1х = У 2
пп
\
/
тг
'бўлиб, унинг учун
Н п+1(х)
—
2 х Н п(х)
+
2пНп-х(х)
= 0
рекуррент муносабат ўринлидир. Эрмит кўпҳадларининг биринчи
6 таси қуйидагидан иборат:
Н0(х)
= 1,
Н / х ) = 2х
,
Н2(х)
=
4х2
— 2,
Н3(х)
= 8 х 3— 12х<
Н4(х)
= 1
6х*
— 48х:2 + 12,
Н ъ(х)
= 8 2 + - 1 6 0 + + 120*.
Агар
/ ( х )
функция (—
оо , с о
) оралиқда р(х) =
е
~ х1 вазнда ква-
драти билан интегралланувчи бўлса, у ҳолда даражаси
п
дан орт-
майдиган кўпҳадлар орасида
П
$ « (* ) = 2
аиНи(х)
к=
0
кўпҳад (—
о о , о о
) оралиқда ўрта квадратик маънода энг яхши
яқинлашувчи кўпҳад бўлиб, бу ерда
( - 1)*
?
Ч
=
]
е - хУ(х)Нк(х)с1х.
К \ у
—оо
276
www.ziyouz.com kutubxonasi
Қуйидаги теорема ўринлидир.
5 -т е о р е м а . Агар /
(х
) функция ( — оо, оо) оралиқда бўлаклк
силлиқ бўлиб,
оо
|
\х\е~х‘‘Р { х ) й х
—00
интеграл мавжуд бўлса, у ҳолда
/( х)
функциянинг Эрмит кўп-
ҳадлари бўйича Фурье қатори
ў(х)
нинг узлуксизлик нуқталари-
да шу функциянинг ўзига, узилиш нуқталарида эса —
\/(х
— 0)
+
А х
+ 0)] га яқинлашади.
6 -§ . ТРИГОНОМЕТРИК КЎПҲАДЛАР БИЛАН ЎРТА КВАДРАТИК
МАЪНОДА ЯҚИНЛАШИШ
Сонлар ўқининг барча нуқталарида аниқланган даврий функ-
цияларни ўрта
квадратик маънода яқинлашишда тригонометрик
кўпҳадлардан фойдаланиш мақсадга мувофиқдир.
Фараз қилайлик, даври 2тс бўлган узлуксиз
/ ( х )
функция бе-
рилган бўлсин.
Я қ и н л аш ув ч и к ў п ҳ а д (2 „ (х ) ни қ у й и д а ги к ў р и н и ш д а олам и з:
П
а 0
С}п(х)
= -Г
+ 2 * ( аь
со5
кх
+
5^П
ЬХ)’
(6.1)'
1
к =
1
Агар
а к
ва
Ьк
ларни
2я
82 = | [ Д х ) - (
и х ) ? й х
0
н и н г м иним ум га эриш и ш
Download Do'stlaringiz bilan baham: |
