|
= 0,
п)
бўлганда
|
Ғ0 (а0 , а х, .
. . ,
ап) — Ғ0(а0ф), а (/ ,
. . . .
а^)
|
< т а х
а < х < Ь
,ак х*
а*(0>
х к
к
=о
к
=0
< т а х 2 |
ак — а ^ \\ х \ к
аКх<Ь
бўлади, яъни
Ғ0 (а0 , ах, . .
. , а„) узлуксиз экан. (8.4) дан кў-
ринадики, худди шунингдек,
Ғ} (а0 , а х ,
. . . ,
а„)
ҳам узлуксиз-
дир.
Ғ} (а0 , а х ,
. . . ,
а„)
манфий эмас. Унинг аниқ қуйи чегара-
сини
т
орқали белгилаймиз. Теоремани исботлаш учун Еўўзининг
қуйи чегарасига эришадиган шундай
(а0 , ах , . . . , а„)
нуқта то-
пилишини кўрсатишимиз керак. Ҳақиқатан ҳам, (г а + 1 ) ўлчовли
П
_
Евклид фазосида 2 а | = 1 бирлик сферада ётувчи нуқталар тўп-
к=0
ламини олайлик. Бу тўплам — чегараланган ёпиқ тўпламдир. Д е -
мак, унда узлуксиз мусбат
Ғ0
функция ўзининг аниқ қуйи чега-
раси р. га эришиши керак. Кўриниб турибдики, р.
0, акс ҳолда
шундай
............. < л
( 2 <
г = 1)
к
=0
нуқта топилар эдики, унда
(0)
„(0)
Г 0 ^ао
,
а\
аТ)
шах
а < х < . Ь
2 а*0)
х
к
= 0
бўлар эди, бунинг бўлиши мумкин эмас, чунки 1,
х ,
. . .
, х п
лар
чизиқли эрклидир. Қуйидаги
г
т + 1 + Н/Ц
и
сонни олиб, бутун (а0 , а , ..............
а„)
фазони икки қисм:
ва /?2
П
га ажратамиз;
ак
^ г 2 тенгсизликни қаноатлантирадиган барча
к= 0
нуқталарни Ҳ, га киритиб, қолганларини
га киритамиз.
Ғў (а0,
О п . . . , а„) функциянинг
Р2
даги қийматларини қарайлик. Фараз
П
қилайлик,
(Ь0
Ь„)
£ /?2,
у
ҳолда ^
= Ра > Л яъни
к =
о
£86
www.ziyouz.com kutubxonasi
» = 1 бўлиб, қуйидаги баҳо ўринли бўлади:
*=о
п
•ҒД&о.
. • • • . 6«) = !!/(*) — Л*(«) II >1 II
(*) II —№ ) III =•
1р1 I! 2
к
= 0
Ц - Х к
р|
/ I
> | р |
4=0
-уй
т т т *
— 11/11 > | р к — 11/11
> г р -
11/1
= т + \
(охирги тенглик
г
нинг танланишига кўра бажарилади). Демак,
қисмда
Ғў
нинг қуйи чегараси
т
+ 1 дан кичик эмас ва
т
сони
Ғў
функция қийматларининг
Даги қуйи чегараси экан. Лекин
б у тўплам чегараланган ва ёпиқдир. Бу тўпламда узлуксиз бўлган
Ғг (а0 , а
х , . . . ,
а п)
функция ўзининг аниқ қуйи чегарасига эри-
шиши керак. Агар бу нуқтани
(ао ау ,
, ап)
орқали белгилаб
олсак, у ҳолда
т = Ғў (а*0, а \
, . . . ,
а*п)
=
[ \/( х ) — ^ а 1 х к[[
=
\\/(х )
—
Р1(х)[\
0
бўлади. Шундай қилиб, энг яхши яқинлашувчи
Рп (х)
кўпҳад
мавжуд.
Энди кўпҳаднинг узлуксиз функция учун энг яхши яқинлашув-
чи кўпҳад бўлишининг зарурий ва етарли шартларини келтирамиз.
Валле—П уссен теорем аси . Фараз қилайлик,
х ±
< х а < . . . -<
< х „ +2
[а, Ь\
оралиқнинг шундай
(п + 2)
та нуқтаси бўлсинки,
улар учун
81
§п [( — 1)'(/(Х г) — Ял ( х 2) ) ]= с о п з 1
(8.5)
бўлсин, яъни
х ь
нуқтадан навбатдаги
х [+1
нуқтага ўтилганда
/ ( х ) — Рп (х)
миқдор ўз ишорасини ўзгартирсин. У ҳолда
Еп ( ! ) > т =
т т
|/(л :4) — Ял ( х , ) |.
(8.6)
1=1
.........
п +2
И сбот. Агар
т = 0
бўлса, у ҳолда теорема тасдиғининг ўрин«
лилиги кўриниб турибди. Энди
т >
0 деб олиб, тескарисини фа*
раз қиламиз, яъни энг яхши яқинлашувчи
Рп (х)
кўпҳад учун
1|Я«— / | |
= Е п( / ) < т
(8.7)
бўлсин. Қуйидаги
51§П
[Рп (X) — Рп
( * ) ]
=
51§П [
(Рп (X)
— / ( X ) )
—
(Р Гп
(х)
- / ( » ) ]
,
\ Р п ( Х 1) - / ( Х 1) \ > \ Р * п ( Х 1) - / ( Х
1
)\
муносабатлардан 51§п
[Рп (хх)
—
Рп
(х г)] = 51§п
[Рп (х[) —/(х^)]
тенглик келиб чиқади. Демак,
п-
даражали
Рп( х )
—
Рп(х)
кўпҳад
ўз ишорасини
п
+ 1 марта алмаштиради, яъни
Рп (х)
—
Рп (х)
= 0.
Бу эса (8.7) фараз қилинган шартга қарама-қарши натижадир. Бу
қарама-қаршилик теоремани исботлайди.
287
www.ziyouz.com kutubxonasi
Ч ебиш ев теор ем аси .
Р„ (х)
кўпҳад [
а
,
Ь
] оралиқда узлуксид
/ (
х
) функциянинг энг яхши текис яқинлашувчи кўпҳади бўлиши
учун бу оралиқда камида
п
+ 2 та қуйидаги шартларни қаноатлан-
тирадиган
х ^ с х 2С
. . . < л : „ +2 нуқталарнинг мавжуд бўлиши
зарур ва етарлидир: е = 1 ёки е = — 1 бўлганда барча / = 1 , 2 ,
. . . ,
п
+ 2 лар учун
/ ( ^ ) - я ; ( ^ ) = е ( - 1 ) г1 ! / - р ; и
тенгликлар ўринли бўлсин.
Теорема шартларини қаноатлантирадиган
х,
,
х 2
, . . . ,
х п+2
нуқталар
Чебшиев альтернансининг нуцталари
дейилади.
И сбот. К и ф о я л и г и . /. = | | / —
Р*п\\
Деб белгилайлик. (8.6)
тенгсизликка кўра
I
=
т
<
Еп
(/), лекин
Еп
( / ) нинг таърифига
кўра
Еп
( /) < || / —
Р*п
|| = /. бўлиши керак. Демак,
Еп
( / ) = /. ва
Р п(х)
энг яхши текис яқинлашувчи кўпҳад бўлади.
З а р у р и й л и г и . Фараз қилайлик, Я(лг) = р ; ( х ) энг яхши те-
кис яқинлашувчи кўпҳад мавжуд бўлсин. Бу кўпҳад учун
I)/3 —
— / | | = Д Л( / ) бўлиб, ҳеч бўлмаганда битта шундай
х 0
нуқта мав-
жудки, унинг учун |
Р ( х 0) —/ ( х 0)\ = Е„(/).
Бундай нуқта энг
катта оғиш нуқтаси ёки қисқача
(Е)
- нуқта дейилади.
Р (х)
кўп-
ҳаднннг графиги
у
=
/ ( х )
+
Еп (/)
ва
у = / ( х )
—
Еп
(/) чизиқлар
орасида ётади, ҳамда
х 0
нуқтада
Р(х)
нинг графиги ё юқори чи-
зиққа, ёки пастки чизиққа уринади. Агар
Р(х)
нинг графиги бирор
нуқтада юқори чизиққа уринса, бундай нуқта энг катта оғишнинг
( + ) нуқтаси ёки қисқача ( + ) нуқта ва кўпҳаднинг графиги пастки
чизиққа уринадиган ҳар қандай нуқта (—) нуқта дейилади.
Кўриниб турибдики, ( + ) нуқта билан бир вақтда (—) нуқта
ҳам мавжуд бўлиши керак, чунки ( + ) нуқта ёки (—) нуқта мав-
ж уд бўлмаса, у ҳолда бирор кичик мусбат сонни
Р
(л;) дан айириб
ёки унга қўшиб, шундай кўпҳад ҳосил қилиш мумкинки, унинг
графиги
у — / (х)
чизиқ атрофидаги торроқ йўлакда жойлашади.
Бу эса
Р( х)
нинг энг яхши яқинлашувчи кўпҳадлигини инкор
қилади.
Энди
\а, Ъ\
оралиқни
[
й
= / 0< / < . . < / , = £
нуқталар билан шундай кичик қисмларга бўламизки, бу қисмлар-
нинг ҳар бирида
Р ( х ) —/ ( х )
нинг тебраниши
г/ Е п(/ )
дан кичик
бўлсин. Ҳеч бўлмаганда битта
(Е)
нуқтага эга бўлган ҳар бир
(Е)
<
х
^
1Ь+Х
қисмни
(Е)
сегмент деб атаймиз. Ҳар бир
(Е)
сегментда
Р ( х ) —/ ( х )
нолга айланмайди (чунки унинг тебраниши
- /
Еп (/)
дан кичик) ва ўз ишорасини сақлайди. Демак, ҳар бир
(£■) сегментда ё фақат ( + ) нуқта ётади ва бу ерда
Р ( х )
—
/ ( х )
мусбат, бундай сегментни ( + ) сегмент деймиз ёки фақат (—) нуқ-
та ётади ва бу ерда
Р (х)
— /
(х)
манфий, бундай сегментни (—)
288
www.ziyouz.com kutubxonasi
сегмент деймиз.
(Е)
сегментларни чапдан ўнгга қараб номерлаб
чиқамиз
> ^2
............. ’
кейин
Р ( х ) —/ ( х )
айирма энг камиДа неча марта ўз ишорасини
алмаштириши мумкинлигини акиқлаш учун
(Е)
сегментларни груп-
паларга қуйидагича ажратамиз. Аниқлик учун
йх
ни ( + ) сегмент
деб оламиз:
у $2
) • • • »
[ ( + ) сегментлар],
< ,+ 1 ’ ^ , + 2 ’ • • • ’
[(—) сегментлар],
00
СО
^кт-1
+ К
^кт-
1 + 2- ’ • ' ,
йкт
[(— 1)т_ 1 сегментлар].
Бу ерда
т
та группа кўрсатилди, буларнинг ҳар Гири камида битта
(Е)
сегментга эга. Агар
т
>-
п
+ 2 бўлса, у қолда теореманинг
тасдиғи келиб чиқади.
Тескариси
т < п +
2 ни фараз қилайлик ва бундай ф араз
Р( х)
нинг энг яхши текис яқинлашувчи кўпҳад бўлишлигига зидэкан-
лигини кўрсатамиз. Кўриниб турибдики,
йк
Download Do'stlaringiz bilan baham: |
