|
Биринчи тенглик билан аниқланган
Вп
миқдорлар
Бернулли сон-
лари
дейилади. Бу сонларни аниқлайдиган рекуррент тенгликларнв
қуриш мумкин. Бунинг учун (8.2) нинг ҳар иккала томонини
е*
—
1
= ^
Т\
га кўпайтирамиз:
6=1
.
.
АтЬ к \
п \
‘
к
—1
п
= 0
Б у тенгликда /,
Р, Б,
. . . ҳадлар олдидаги коэффициентларни тақ-
қослаб,
1
Во
_|_____
В
д___ .
В$
____ .
|
В
п—1
1 > п 1
'
( п
— П
1
| | - Г /
я
_ 9 Н 9 | 1 - • • • 1 -
вп
(П-
1)! II ■
(я — 2)! 2! ^
(л = 2 ,3 , . . .)
1!(я — 1)1
= 0
341
www.ziyouz.com kutubxonasi
€ки
п —1
=
= 0
( « > 2)
£=0
(8.4)
рекуррент муносабатларни ҳосил қиламиз.
Вх
дан бошқа барча тоқ
индексли Бернулли сонларининг нолга тенг эканликларини кўрса-
тиш мумкин. Бунинг учун (8.2) тенгликда
I
ни —
I
га алмашти-
рамиз:
Лекин
— (
е ~ ( — \
2(-ч-
п = 0
Вп 1П
п \
'
демак,
п—0
< + 2 % -
п = 0
п = 0
/я
И|
'
Бундан эса / г > 1 бўлганда
Вп —
(— 1
)пВп
тенгликка эга бўламиз
ва
п
=
2к
+
1
учун
^2к+\
в
^2Ь+1' ^2к+1
--- ® '
( ^ — ^ >^> • • •)
келиб чиқади. Қуйида Бернулли сонларининг дастлабки б ю нечта-
сининг қийматлари келтирилган:
.
'
■^о *=
,
В3
=
£ 4
= — зо>
^6
=
42
,
= — зо>
п _ 5 /> __
691
о _
7
г,
3617
Сю.
66’
2730’ ° 14 ~
6 ’ ^ 16
КПГ’
’ • *
Энди
Вп (х) Бернулли кўпҳадларина
аниқлайдиган рекуррент
муносабатларни тузайлик. Бунинг учун (8.3) тенгликда
ех‘
ва
~Г
_ )- функцияларни уларнинг даражали қаторлардаги ёйилмалари
билан алмаштирамиз:
©в
О
О
00
Б у ердан
1п
олдидаги коэффициентларни таққослаб,
Вп(х)
х"В0
хп
-1
вх
.
в^
п \
п \
“г
(п—
1)1 II "Г • • • "Г П|
<ёки
П
Вп
( * ) =
2
с £
(8.5)
3 4 2
www.ziyouz.com kutubxonasi
ни ҳосил қиламиз. Бернулли кўпҳадларидан дастлабки бир нечта-
сини келтирамиз:
£ 0 (*) = 1,
^
В\ (х)
= X —
-ў
1
В2(Х) = Х 3 — X
,
В3 (х) = х 3
— | л:2 + у л:,
(8.6)
5 4 (л) = л:4 —
2х3
+
х*
— ^ ,
Вь( х ) = х ъ —
- | л 4 + -|л :3 — | х ,
.
(х) = х 6— З х 5+
х 4 — у х 2 + ^ .
Энди Бернулли кўпҳадларининг айрим хоссалари билан танишай-
лик. Аввало (8.5) дан
Вп (0) = Вп ,
« = 0 , 1 , 2 , . . .
(8 .7 )
келиб чиқади. (8.2) тенгликнинг ҳар икки томонини х бўйича диф*
ференциаллаб,
ех{
1ч
е * —
\
К
( х )
л|
1п
ни ҳосил қиламиз. Бу тенгликнинг чап томони
{•§ (?,х)
га тенғ
бўлгани учун:
' 2
п=0
&п
(•*)
П\
1п
-2
п
= 0
В п ( х )
п У ’ 4П
п \
1 '
Бунда
1п
олдидаги коэффициентларни тенглаштириб, Бернулли кўп-
ҳадларини дифференциаллаш қоидасига эга бўламиз:
Вп (х)
=
п Вп- \
(х)
(п
= 1,2, . . .).
(8 .8 )
Бундан ва (8.7) дан интеграллаш қоидасини чиқарамиз:
вп
(х) =
вп
+
п
|
вп-х
(о
(И.
Энди
Вп( \ - х ) ^ ( - \ у В п(х)
(л = 0 , 1 , 2 , . . . )
эканлигини кўрсатамиз. Бунинг учун қуйидаги
1 е {
е *
— 1
е*
— 1
е
1
— 1
(8.9)
(
8
.
10
)
алмаштиришларни бажариб,
§ ( * , 1 — X) = £ ( — { , X)
34$
www.ziyouz.com kutubxonasi
яи ҳосил қиламиз. Б у муносабатга
§
нинг (8.3) даги ёйилмасини
желтириб қўйсак,
2
п
= 0
#„(1
—х)
п\
п
= 0
Вп (X)
п\
( ~ * ) П
тенглик келиб чиқади, бундан эса (8.10) ни ҳосил қиламиз.
Энди Бернулли кўпҳадларидан фақат озод ҳад билан фарқ қила-
диган қуйидаги функцияларни киритамиз:
<Рп(х) = В п(х) — Вп
( л = 1 , 2 , . . . ) .
(8.11)
Бу функциялар,
(л:) дан ташқари,
х = 0 ва х = I
нуқталарда
иолга айланади. Ҳақиқатан ҳам, (8.7) га кўра <р„ (0) = 0, (8.11)
тенгликка кўра эса
(1) = 3 * ( 1 ) - £ « = ( - 1 ) " Д
г
1 - ( - 1 ) 1 == 0,
чунки жуфт
п
лар учун квадрат қавс ичидаги ифода нолга тенг
■бўлиб, тоқ
п >
1 лар учун
Вп
Бернулли сонлари нолга тенг.
Қуйидаги теорема ўринлидир.
1-
теор ем а. <Ра(х), <р4 (
а
:), <р6(х), . . . кўпҳадлар (0,1) оралиқ-
да доимий, чунончи ? 2А (л:) ( — 1)* ишорага эга; <р3
(х),
. . . кўпҳадлар
х = ~
нуқтада нолга айланади, шу билан
б и р г а ( о ,+ ) ва
,
1) оралиқларда
мос равишда (— I)*-1
ва (— 1)* ишораларга эга.
И сбот. Аввало (8.10) га кўра
^ +
1
( у ) = - ^
+
1
( у ) ёки 5 2А+1(
у
) = 0.
Шундай қилиб, ф2А+1(л:)
(к =
1 , 2 , . . . ) кўпҳадлар 0,
1 нуқ-
таларда нолга айланади. Энди (0, 1) оралиқда ф2/г+1(л:) нинг бошқа
нолларга эга эмаслигини кўрсатамиз. Бунинг учун ф
2
к+\(х )
кўпҳад
(0, 1) оралиғида иккита ҳар хил нуқтада нолга эга бўла олмасли-
гини кўрсатайлик. Тескарисини фараз қиламиз, яъни
х,
ва
х 2
{ 0 < х г < : х 2< 1 )
ф2/;+1(х) нинг ноллари бўлсин. Бундан ташқари,
х =
0 ва
х =
1 нуқталар ҳам унинг ноллари бўлганлиги учун
(0 ,
х г), (хи х 2)
ва
(х2,
1) оралиқларнинг ҳар бирида
Ъь+
1
(х)
=
В'2к+1(х) =
(2
к
+ 1
)В2к(х)
кўпҳад камида битта нолга эга, ва демак,
? « + !(* ) =
(2к
+
\)В'2к(х) =
(2
к
+
1)2ку2к_х(х)
кўпҳад, яъни
ц>2к_ х(х)
(0, 1) оралиқда камида иккита нолга эга.
Б у мулоҳазаларни давом эттириб, шундай хулосага келамизки,
<Рг(х)
кўпҳад (0, 1) оралиқда камида иккита турли илдизларга эга.
Бунга л: = 0 ва
х =
1 нолларни қўшсак, у ҳолда айнан ноль бўл-
маган учинчи даражали кўпҳад камида тўртта илдизга эга деган,
3 4 4
www.ziyouz.com kutubxonasi
мумкин бўлмаган хулосага келамиз. Шунинг учун ҳам,
%к+1{х)
кўпҳад (0, 1) оралиқда иккита ҳар хил илдизга эга деган фарази-
миз нотўғри экан. Ушбу
'
з
1§
п
^ 2й= (— I)* -1
(8.12)
тенгликдан фойдаланамиз. Бунинг тўғрилигини кейинчалик кўрса-
тамиз. (8.5) тенгликка кўра
х
нинг кичик қийматлари учун ср2&+1 (
х )
нинг қийматлари ишораси
В2к
нинг ишораси билан устма-уст туша-
ди, (8.12) га кўра бу ишора (— I )* -1 дан иборатдир. Демак,
0,
оралиқда
Ф2/,+1(-У)
нинг
ишораси
(-
1)
дир
ва
Ъь
+ 1
( - у I
бўлганлиги учун
Т ’ 1
да унинг ишораси
( —
\)к
бўлади.
ЭнДи ф
2к{х) {к'=
1 , 2 , . . . ) нинг (0, 1) оралиқда нолга айлан-
маслигини кўрсатамиз. Ҳақиқатан ҳам, агар
<р2к{х)
кўпҳад (0,1)
оралиқда нолга айланса, у ҳолда унинг ҳосиласи
Ък(х )
=
В2к(х )
=
2кВ2к-:(х )
=
2к%к-г(х )’
яъни
у 2к_х{х)
кўпҳад, (0, 1) да камида иккита илдизга эга бўлар
эди.
Шундай қилиб, ф Д х ) кўпҳад [0, 1] да ўз ишорасини сақлайди
ва бу ишора
1
1
|
ф
2к(х )^х =
|
[в 2к(х ) - в 2к¥ х
- I
2 6 + 1
24+1
В2к + 1(Х)
В 2к
-в.
2 к
1
ишора билан устма-уст тушади, яъни
у 2к{х)
нинг ишораси ( — I)4
экан. Шу билан теорема исбот бўлди.
Энди
даврийлаштиралган Вп{х) Бернулли кўпҳадларини
қуйидагича аниқлаймиз:
в;{х) =
1,
в;г{х) = в п{х)
(0 < х < 1) ва
В*п{х
+ 1) ~
В*п{х)
( — о о < 2 С < о о ) .
■
Маълумки,
Вх{х) = х
-----шунинг учун ҳам
В\{х)
узлукли
функиия бўлиб, бутун нуқталарда — 1 сакрашга эга. Барча
п > \
лар учун
Вп{\) = Вп{0)
бўлганлиги сабабли
В*п{х)
узлуксиз даврий
функциядир. Бу функцияларнинг [0, 1] оралиқдаги Фурье ёйилма-
ларини келтирамиз:
в 1{х)
Download Do'stlaringiz bilan baham: |
