Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

Демак, қаралаётган ҳолда тўгри тўртбурчаклар формуласининг
қолдиқ ҳади (8.28) кўринишга эга.
Энди (8.28) қолдиқ ҳадни текшириш билан шуғулланамиз.
3- 
т еор ем а. Агар 
/ (х )
функция [
а, Ь)
оралиқда 2
к-
 тартибли
узлуксиз ҳосилага эга бўлса, у ҳолда
^ ( Л = - ^ Ф - а ) В 2к/ ^ т ,
 
(8.29)
б у ерда 
а
 < | <
Ь.
И сбот. Биринчи пунктда фгт(^) функциянинг 0 < т < 1 да ўз
ишорасини сақлашини кўрган эдик. Шунинг учун ҳам
1
п - 1 
1
/ = | Ф2
к ( х ) ^ / (2к)(а + Л г
+
Нх)Лх
 *= |
ц>21+)^2к(х)^х
интегралда умумлашган ўрта қиймат ҳақидаги теоремани қўллаш
мумкин:
1 
1
/ = 
§2к(Л
| Фг;+)^ =
§21+1)
| 
\в
2
к(/)—в
2
к\ах
= —
§
2
к(г1)В
2
к.
(
8
.зо)
Бу ерда 0 < т) < 1. Агар 
М
ва 
т
орқали 
/ (2к)(х)
нинг 
\а, Ь\
даги
энг катта ва энг кичик 
қийматларини белгиласак, у ҳолда кўри-
ниб турибдики, 
пт
<
§ 2+ /
<
пМ.
Лекин / (2/ ,(с) функция узлук-
сиз бўлганлиги учун 
\а, Ь\
оралиқда шундай Н нуқта топиладики,
§ 2к(/) — п / (2к)(1)
тенглик бажарилади. Буни (8.30) га ва (8.30) ни
(8.28) га қўйсак, (8.29) келиб чиқади ва шу билан теорема исбот
бўлди.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Таъкидлаб ўтамизки, (8.29) да 
к —
1 деб олсак, у ҳолда у
трапеииялар формуласининг қолдиқ қадига айланади.
4 - т ео р ем а . Агар барча 
х £ [ а , Ь\
учун
/ {2к)(х)
> 0 ва 
/ )2к+2>(х)
> 0 
(8.31)
[ёки / (
2к)(х)
< 0 ва 
/ )2к+2)(х)
< 0]
тенгсизликлар бажарилса, ў ҳолда Эйлер — Маклорен формуласи
/.(/) қолдиқ ҳадининг ишораси
— /(2*-1)(а )] 
(8_32)
соннинг ишораси билан устма-уст тушиб, / / / / / ) нинг 
абсолют 
қиймати (8.32) нинг абсолют қийматидан ортмайди.
И сбот. Эйлер—Маклорен формуласидан
К Ш ) - Ъь+2
( / ) = -
- / 1" - 1)(а)] 
(8.33)
келиб чиқади. 1- теоремага кўра:
51§П ф2/г(т:) = ( — 1 )* .
Бундан ва (8.31) дан фойдаланган ҳолда, (8.28). дан маълум бў-
ладики, ///,.(/) ва (— 
/ /2к+2(к))
бир хил ишорага эга. Бу ишора
(8.33) га кўра (8.32) нинг ишораси билан бир хил бўлиши керак
ва /?
2
*(/) ҳамда /?
2
*+г(/) абсолют қийматлари бўйича (8.32) нинг
абсолют қийматидан ортмайди. Теорема исботланди.
Э с л а т м а .
к
ўсиши билан 
Бернулли сонлари тез ўсиб боради.
1(8 17) га қаранг.] Шунинг учун ҳам, (8.29) дан кўринадики