Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

к
чексизликка
интилганда 
} ( х )
функиияларнинг жуда ҳам тор синфи учун 
К.
2
к
0
)
нолга
интилади. Одатда 
к
чексизликка интилганда /?2А(/) катта тезлик билан чек-
сизликка интилади. Шунинг учун ҳам ҳисоблаш пайтида 
к
ни шундай тан-
лаш керакки, ) / / 2*( 
Ў ) \
имкон борича кичик қиймат, қабул қилсин.
Мисол. Эилер — Маклорен формуласи ёрдамида
\
 
1
I = ]
(соз 
х
 — — + зЬ 
х ) Л х
интеграл вергулдан кейин 4 хона аниқликда ҳисоблансин.
Ечиш. 
[1, 2] 
оралиқни 
к
 = 0,2 
қадам билан 
5 
бўлакка бўламиз 
ва
х ^
= 1 + 0,2/ (/ = ”+5)
деб олиб, 
/ ( х )
= созл: — — + зЬл: нинг қийматларини топамиз:
/ ( х 0)
= 0,71550, /( * ,) = 1,17738, 
/ ( х 2)
= 1, 56407,
/ ( х 3)
= 1,95577, / ( + ) = 2,40636, 
/ ( х й)
= 2,96077.
Бу ердан
~ /(*о) + / ( + ) + . . • + / ( + ) +
~ ; / ( х ъ)
= 8,94171.
Учинчи тартибли ҳосила билан чегараланиб, қуйидагига эга бўламиз:
2 
4!
/ ' ( х )
=
— 
з1п 
х
+ — +
сЬ 
х , / ' " ( х )
=
з1п 
х
 
+ — +
сЬ 
х .
(52
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Бу ердан
/'( 1 ) = 2,70161, /'( 2 ) = 3,10290, 
/'"(1) = 26,38455, 
/'"(2) 
= 5,42150.
Топилган қийматларни (8.27) формулага қўйиб, қуйидагиларни ҳосил қиламизг
ни ҳосил қиламиз, яъни юқорида топилган рақамларнинг барчаси ишончли 
экан.
9- §. КВАДРАТУР ФОРМУЛАЛАРНИ ҚЎЛЛАШ ТЎҒРИСИДА АЙРИМ 
МУЛОҲАЗАЛАР. РУНГЕ ҚОИДАСИ
Б и з о л д и н г и п араграф лард а бир қ а н ч а к в а д р а ту р ф орм улалар 
қ у р д и к . К о н к р е т ф у н к ц и я л а р н и тақриб ий и н тегр ал л аш п ай ти да к о н - 
к р е т к в а д р а т у р ф орм улан и тан лаш к а т т а
а ҳ а м и я т га э г а . 
Б у н д а й
т а н л а ш к ў п ж и ҳ а т л а р г а : и н т е г р а л л а н у в ч и ф у н к ц и я н и н г х о с с а с и га , 
у н и н г б ер и л и ш и га, ҳ и с о б л о в ч и н и н г қ ў л о с ти д а ги ҳ и с о б л а ш қуро- 
л и га , галаб қ и л и н а д и га н а н и қ л и к к а б о ғл и қ .
А га р и н т е г р а л л а н у в ч и ф у н к ц и я қи йм атлари ж а д в а л и б и л а н б е- 
р и л ган б ў л с а , у ҳ о л д а ш у н д ай к в а д р а ту р ф орм улан и қ ў л л а ш кер ак- 
ки , ун д а ш у т у г у н н у қ та л а р д а ги ф у н к ц и я н и н г қи йм атлари қатн аш - 
си н . А г а р ф у н к ц и я ў зи н и н г гр аф и ги б и л ан б ер и л ган б ў л с а , у ҳо л - 
д а т е н г ко э ф ф и ц и е н т л и кв а д р а ту р ф орм улан и иш лати ш м а ъ қ у л д и р . 
Ч у н к и ф у н к ц и я қ и й м атлари дан т у з и л г а н ч и зи қ л и к о м б и н ац и я бар- 
ч а ко эф ф и ц и е н т л а р и ў за р о т е н г б ў л га н д а ги н а э н г к и ч и к тасод иф ий 
х а т о г а э г а б ў л а д и .
Т е з т е б р а н у в ч и ф у н к ц и я л а р н и и н те гр а л л аш к а т т а қ и й и н ч и л и к - 
лар т у ғд и р а д и . Б у н д а й ф у н к ц и я л а р н и и н те гр а л л аш
у ч у н м а х с у с
ф о р м улалар я р а т и л га н . А йрим ҳ о л л ар д а б ў л а к л а б и н т е г р а л л а ш ' ҳ а м
я х ш и н а т и ж а г а о л и б к ел и ш и м у м ки н . М а с а л а н ,
и н тегр ал н и
N
е т ар л и ч а к а т т а б ў л г а н д а и н те гр а л л а ш т а л а б қи л и н - 
син . У ҳ о л д а с о з 
2
тс 
М х
ҳ и с о б и г а и н те гр а л о сти д аги ф у н к ц и я т е з
т е б р а н у в ч а н бўлад и . Б у
ерда 
а га р
/ ( х )
и н тегр ал л аш орал и ғи д а 
2
/г -та р т и б л и у з л у к с и з ҳ о с и л а г а э г а б ў л с а , у ҳ о л д а
2
п
м арта 
б ў- 
л а к л а б ин теграллай м и з: 
.
1 
2
/ = Гз1п 
х
+ — + с 
Нх]
= 1,78696
X
1
| /( л :) с о з
2
тсМ 
х й х
о
23— 2105
353
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

А г а р
N
е т ар л и ч а к а т т а б ў л с а , ў
ҳ о л д а и к к и н ч и и н те гр а л олди даги 
к ў п а й т у в ч и етар л и ч а к и ч и к б ўлад и 
в а и к к и н ч и
и н тегр ал н и
бери лган 
и н т е гр а л га н и сб атан к и ч и к р о қ аниқ- 
л и к д а ҳ ам ҳ и с о б л а ш м ум ки н.
И н т е гр а л л а ш оралиғид а ф у н к- 
ц и я н и н г х о ссал ар и н и ўрганиш кат- 
т а а ҳ а м и я т г а э г а .Ч у н к и ф у н к ц и я
х о ссал ар и н и ҳ и с о б г а олм асдан ҳ а р
қ ан д ай к в а д р а т у р ф орм ула қ ў л л а н и л а б е р и л с а , к а т т а х а т о л а р г а
д у ч келин иш и м ум ки н . 
.
А га р т у г у н л а р н ом увоф и қ 
ж о й л а ш г а н б ў л с а , у ҳ о л д а квад ра- 
т у р ф о р м у ла б е м а ъ н и н а т и ж а га олиб келад и .
М а с а л а н , 27- чизм ада т а св и р л ан ган
у — / ( х )
ф у н к ц и я н и и н те гр а л - 
лаш у ч у н т е н г у з о қ л и к д а ж о й л аш га н
а — х 0, х и х 2, х 3, х А = Ь
т у г у н л а р н и о л и б б еш н у қ т а л и Н ь ю т о н — К о т е с ф орм уласидан фой- 
д а л а н с а к , к в а д р а т у р й и ғи н д и н и н г қи й м ати м у с б а т ч и қад и . К ўрин иб 
ту р и б д и к и , и н т е г р а л н и н г қи й м ати манф ий чиқи ш и к е р а к . 
И к к и н ч и
м и со л , ай тай л и к , и х т и ё р и й
1
п
/ ( х ) й х
«
^ А к / ( х к )
к =
1
ф орм ула б и л ан
/ ( х )
=
М [(х — х х)
. . . 
( х — х п)]^
ф у н к ц и я н и инте- 
гр ал лам о қ ч и б ў л с а к , кўри н и б
т у р и б д и к и , 
N
е т а р л и ч а к а т т а б ўл- 
га н д а и н те гр а л н и н г қийм ати е т ар л и ч а к а т т а б ў л и б , 
к в а д р а т у р йи- 
ғи н д и эса н о л га т е н г .
Ф у н к ц и я х о ссал ар и н и ўрган и ш я н а ш у том он д ан ҳ ам м у ҳ и м к и , 
а г а р ф у н к ц и я н и н г с и л л и қ л и ги ю қори б ў лм аса, у ҳ о л д а қ о л д и қ ҳ а- 
д и д а ю қ о р и т а р ти б л и ҳ о с и л а л а р
қ атн аш ад и ган ф орм улаларн и қўл- 
лаш м а ъ н о г а э г а эм ас. Б у н д а й ҳ о л д а 7- § да к ў р с а т и л га н и д а к сод- 
д ар о қ к в а д р а т у р ф о р м улалард ан
ф ойд алани ш м а ъ қ у л д и р . Ф у н к ц и я
х о с с а л ар и т е к ш и р и л га н д а н кейин и н те гр а л л аш оралиғин и м а қ б у л
р а в и ш д а қ и см лар га б ў л и б , ҳ а р б ир қи см у ч у н ў зи га х о с к в ад р а- 
т у р ф орм уласи н и қ ў л л а ш
м а ъ қ у л д и р . 
Ф у н к ц и я
т е з ў зга р а д и га н
о р ал и қ ч ал ар д а т у гу н л а р н и т и ғи зр о қ о л и б , секи н ў з г а р а д и га н қисм - 
лар и д а эс а т у г у н л а р н и сийрак 
олиш ке р а к .
Б у н д а н таш қ ар и , и н те гр а л л ар н и қ ў л д а
ҳ и с о б л а ш д а с о д д а р о қ
к в а д р а т у р ф орм у лал ар и ш л а ти л а д и . Ч у н к и , Г а у с с ти п и д а ги , коэф - 
ф и ц и ен тл ар и ва т у г у н л а р и к ў п х о н а л и
рақам лар б и л ан б ери лади- 
га н ф орм улаларн и қ ў л л а ш а н ч а қи й и н ч и ли к т у ғд и р а д и . 
А к с и н ч а , 
б у н д а й ф орм улалар Э Ҳ М л а р ёр д ам и д а ҳ и с о б л а ш д а
ф ойд алани лади. 
Ш у н и н г у ч у н ҳ а м , к ў п Э Ҳ М л а р д а с тан д ар т програм м алар а со си д а 
ю қ о р и т а р т и б л и Г а у с с ф о р м у лал ар и ол и н ад и . 
-
Э Ҳ М л а р н и с е р и я л и ҳ и с о б л а ш л а р д а қў л л ан и л и ш ш арои ти да ҳ а р
б ир ф у н к ц и я н и н г , и н д и в и д у а л рави ш да текш ирилиш и м ум ки н б ў л - 
м айди, о д ат д а , у й и н г у ё к и б у си н ф га т е ги ш л и л и ги м аълум бў- 
л а д и . Ш у н и н г у ч у н т у р л и
синф лар ф у н к ц и я л а р и н и и н те гр а л л аш
854
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

у ч у н с т а н д а р т
п рограм м алар 
тў п лам и м а в ж у д б ў л и б , б ер и л ган
си н ф д аги ҳар бир ф у н к ц и я н и н г и н д и в и д у ал х у с у с и я т и н и
ҳ и с о б г а
о л и ш програм м ада қ а д а м н и а в т о м а т и к равиш да танлаш йўли билан 
о л и б б о р и л а д и . -
Қ адам ни а в т о м а т и к рави ш д а тан л аш
Р у н г е п р а н ц и п и г а
асо с- 
л а н га н . Р у н г е п ри н ц и п и га а с о с л ан и б , и н тегралларн и та қ р и б и й ҳи- 
с о б л аш л ар н и н г ҳ ар х и л п р о ц е д у р а л а р и м а в ж у д , ш у л ар д ан э н г к е н г
та р қ а л ган и н и кў р и б ч и қам и з. Б у б о б д а кўри б ч и қ и л га н б ар ч а
Ь 
п
\ / ( х ) 4 х =
2 + Л ^ ' ) + # ( / )
(9-1)
а
к в а д р а т у р ф о р м у лал ар н и н г қ о л д и қ ҳ а д и
кў р и н и ш га э г а б ў л и б , б у ерда 
с
— к о н с та н та , 
Н
— и н теграллаш ора- 
л и ғи н и н г ёк и бир қ и см и н и н г у зу н л и ги , 
и н тегр ал л аш оралиғи- 
н и н г қандайдир н у қ та с и .
А гар и н те г р а л л а ш о р а л и ғи д а / (*_1)(?) 
секи н ў зга р с а , у н и
тақ- 
ри б ан ў згар м ас 
ў~к- 1\ х )
=
М х
ҳ ам д а 
М хс
=
М
д е б б е л ги л а б о ли б , 
қ о л д и қ ҳад н и
_
Р ( / ) = МНк
(9 .2 )
к ў р и н и ш д а т а св и р л аш м ум ки н ва а гар и н те гр а л н и н г ан и қ қийм ати- 
н и
1
в а тақриб ий қи йм атини 
2
орқали 
б е л г и л а б о л с а к , у ҳ о л д а
/ == 2 + М к к •
\ а , Ь\
оралиқн и и к к и га б ў л и б , ҳ а р би ри га (9 .1 ) к в ад р ату р ф ор- 
м у л а н и қ ў л л а б , и н те г р а л л ар н и н г
тақр и б и й қийм атлари ни қ ў ш с а к ,
[а, Ь
] о р ал и қ б ў й и ч а и н т е г р а л н и н г т а қ р и б и й қийм ати 2 ^
ни Ҳ°* 
си л қи лам и з 
ва н а т и ж ад а
1 « 2 , +
М
(■т
У
+
М
( Т Г = 2 , +
21~ кМкк
(9-3)
т е н г л и к ў р и н ли б ў л а д и . (9 .2 ) в а (9 .3 ) т е н гл и к л а р д а н қ о л д и қ ҳ а д
у ч у н
,
т
=
т
кт )
=
М к*
=
(
9
.
4
)
б а ҳ о г а э г а б ў л а м и з, б у б а ҳ о
Р у н г е б а ҳ о с и
д ей и лади . 
Ш у н д а й
қ и л и б , 
[а, Ь}
о р али қд а 
/ (к~ у)(х)
д ея р л и ў згар м ас д е б ф араз қ и л и б , 
қ о л д и қ ҳ а д н и м а ъ л у м м и қдорлар ёрдам и да и ф од алад ик, 
н а т и ж ад а
и н т е г р а л н и н г а н и қ р о қ қи йм ати қ у й и д а ги ч а
ёзилади:
*
-
2
1
+ т =
й
'
(9 -5 )
355
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Э н д и (9 .4 ) ф о р м у л а г а а с о с л а н и б , қад ам н и а в т о м а т и к р ави ш д а тан - 
лаш йўли б и л ан и н тегр ал н и
ҳ и со б л аш н и к ў р и б ч иқам из. 
Б у н и н г
у ч у н
•
Ь 
п