Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги


= 0 келиб чиқади. Шундай қилиб


bet143/186
Sana19.02.2022
Hajmi
#458735
1   ...   139   140   141   142   143   144   145   146   ...   186
Bog'liq
Hisoblash metodlari. 1-qism (M.Isroilov)

= 0 келиб чиқади. Шундай қилиб,


п
 
'
/ 1 —
-1 г 
£=1
квадратур формуланинг тугунлари 
= 0 тенгламанинг
2й— 1
Хп-{-1
— 
к
— С05
2 п

 те 

= 1, 2............ я)
илдизларидан иборатдир. Бу формуланинг когффиииентларини зсз*
А
= — ------Г 
й =
• 
Т^ й — йх
г п(хк)
£ х / 1 —
■* — •** 

кўринишда ёзиш мумкин. Бу интегрални ҳисоблаш учун 
х
 = созЭ
алмаштириш бажарамиз:
А —
1
СО5/20
о1 С050- ^
Й0.
(5.11)
Интеграл ости функциясининг жуфтлиги туфайли:
А = — ‘----- Г ■ 
соз^ —
е10. 
.

2 Г > * )
^
с о з 0 - х й
Интеграл остидаги функция 
п
 — 1-тартибля тригонометрик кўп-
ҳаддир. Биз 4- § да бундай кўпҳадни 2я нуқтали тўғри тўртбур*
чаклар формуласи аниқ интеграллашини кўрсатган эдик. (5.11)
интегрални ҳисоблаш учун тўғри 
тўртбурчаклар 
формуласида
қуйидаги 2я нуқталарни
0; =
й
——
/ = —я + 1, — я + 2 , . . . , 0, 1 , 2 , . . . , я
олоак, 
Аь
нинг аниқ қийматига эга бўламиз. Равшанки интеграл
остидаги функция
/( 9 )
С 05/20 
СО50 

Х к
нинг 0 = 0^ ( / = 1 , я ) нуқтадаги қиймати 
] ф к
бўлганда нолга
тенг бўлиб, /
= к
бўлганда 
Т'п(хк)
га тенг. Бундан ташқари /( 9 )
жуфт функция ва 
0 -/+ 1
= — 0/, шунинг учун ҳам / (
0
_ /+
1
) = /( 0 ^ ) .
Демак, 
.
1
СО5/10 
СО50 — 
Х к
с10
 =
2д Г 
. !
2
п
— 1
2л 
2/г
329
www.ziyouz.com kutubxonasi


+ / ( ^ * ) + / (
2 п
— 1
2 п
2к—
1

п
« ) ] -
Буни (5.11) га қўйиб,
Л ь =
2 % )
2гс
л

л
ни ҳосил қиламиз.
Шундай қилиб, биз қуйидаги 
Мелер квадратур формуласа
-
га эга бўлдик:
/(*)
/ 1 — х3
Х ь
= С 0 5
2/г — 1
------
тс.

п
Бу формула баъзан 
Эрмит формуласи
ҳам дейилади, бу форму-
лани Эрмит ўзининг анализ курсига киритган эди.
Бу формуланинг қолдиқ ҳадини қарайлик. 4- бобда кўрган
эдикки,
Тп{х ) — ^п~1 х п - \ - а х п~1+ .
Шунинг учун ҳам 
шп(х)
=
Т„(х)
 
ва
/ (2п)(£)

у т
(2 л !) 
^
/ 1 — х 3 
2
_1__
,2п-2
Т2
п(х)с1х.
Куйидагига ишонч ҳосил қилиш қийин эмас:
С 
Т"(х) а х
= Л -
^ / Г Г З ^
а х
2 '
Шундай қилиб,
(2л)!2

п-
- / (2п,ш. -1<5<1.
Бошқа ҳар хил вазн функцияли Гаусс типидаги квадратур фор-
мулалар ҳақида бобнинг охиридаги машқлардан қаранг.
в- §. ЧЕБИШЕВ КВАДРАТУР ФОРМУЛАСИ
Биз олдинги параграфда Мелер квадратур формуласини ҳосил
Қилдик. Бу формула шу билан характерланадики, / (
х к)
олдидаги
барча коэффициентлар ўзаро тенг. Агар 
/ ( х к
) нинг қийматлари
тасодифий хаголарга мойил бўлса, у ҳолда бундай формулалар
катта аҳамиятга эга бўлади. Чунки белгиланган


С 1
 + С
1
+ . . . + сп
учун
С \ Л Х \ )  + ^ г Л - ^ г ) + • • • +
 
Сп / ( Х п )
330
www.ziyouz.com kutubxonasi


ифода с, = с2 — . . . =
сп
бўлганда энг кичик тасодифий хатога
эга бўлади. Шу муносабат билан П. Л. Чебишев тенг коэффи-
циентли
I
р ( х ) / { х ) а х = с п ^ / ( х к ) + ^ п( / )
'
(6 .1 )
квадратур формула тузиш масаласини қўйган эди. Бу квадратур
формуланцнг ўнг томонида 
п
-{- 1 та параметр: 
п
та 
х к
тугунлар
ва 
с„
коэффициент қатнашади. Бу параметрларни тегишли усулда
танлаш йўли билан (6.1) формулани 
п-
 даражали 
{(х)
кўпҳадни
аниқ интеграллайдиган қили ) қуришга имконият борлигига умид
қилиш мумкин. Биз кейинчалик (6.1) формуланинг ҳар доим ҳам
мавжуд бўлавермаслигини кўрамиз. 4- § дагидек бу ерда ҳам
х и х 2,
. . . , 
х„
ларни топиш ўрнига
№(х) 
= {х — х г) (х — х2) . . . ( х — хп)
 =
хп
 +
А^Х"-1
 тЬ . . . +
А„ 
кўпҳадни излаймиз. (6.1) формулада
/ ( х )
=
а 0
 +
а гх
 + . . . +
апх п
деб оламиз, бу ерда 
а0, а и . . . , а п —
 ихтиёрий ҳақиқий сонлар.
Шартга кўра бу функция учун 
Нп( /) =
0, шунинг учун ҳам қу-
йидаги тенгликка эга бўламиз:
1
| р
(х)хйх
 + . .
-1
1
• +
а п ^ {>(х)хпйх
=
—1
=
с„[па0
 +
а / х х
+
х 2
+ . . . +
х п)
+
а 2(х2х
+
х \
 + . . . +
х 2
п)
+
+ . . . +
ап(х\
+ х» + . . . + * £ ) ]. 
(6.2)
Қуйидагича белгилаш киритайлик:
1
= |
р(х)хк йх.
—1
(6.2) тенгликдан, 
а^
ларнинг ихтиёрийлигини ҳисобга олсак,
п с п — т о,
с
п ( * 1
+ * 2+ • • • 
+ х п) = т и
сп(х2
+
х\
 + . . . +
х 2
п)
=
т2,

сп(х
1
+
х*
 + . . . + лф =
тп
тенгликлар келиб чиҳади. Бирин чи тенгликдан 
сп
= —
т0
ни то-
331
www.ziyouz.com kutubxonasi


яамиз. Сўнг 
5* = - ^ -
белгилаш киритиб, 
х и х 3, . . . , х„
ларни

с п
топиш учун қуйидаги гистемага эга бўламиз:
Х\
 +
х 3
+ . . . -Ь 
хп
 =

х\-\-х1+
. . .
+ х \ = 8 и
х \ + х { + . . ' . ' + х-п = 8^.
‘ ‘
Биз III бобда
м„(х) =
хп
 
+
А^х"-1 
+
. . . + А п
кўпҳаднинг коэффициентлари билан унинг илдизларидан тузилган
Х\
 +
х 2
 + • • • +
х п
симметрик функцияларни ўзаро б оғлай-
диган
•$1 + Д = 0.
5 2 4 -4 5! 4
2А2
 = 0,
5 Я 4
4
А 28п—2
 4 . . . 4
пАп =
 0
Ньютон формулаларини чиқарган эдик. Бу формулалардан кетма-
кет 
А и Л 2,
. . . , 
А п
ларни аниқлаймиз.
Энди р(лг) = 1 бўлган Чебишев формуласининг хусусий ҳолини
1
қараймиз. Бу ҳолда 
сп 
=
— Г 
йх
 = — ,
” _1 
п
8 к = ~
Г 
х кйх
 =

п 
{+ —
 
1
 
п)
бўлади. Чебишев 
п 
=
1(1)7 лар учун
|
Дх)0х
« Л 2
Л * к )  
(6.4)
-1
к = 1
квадратур формуланинг тугунларини топган эди. Кейинчалик маъ-
лум бўлдики, 
п =
8 бўлганда «вя(л:) кўпҳад илдизларининг ораси-
да комплекслари ҳам мавжуд экан, 
п 
=
 9 бўлганда барча илдиз-
лар яна ҳақиқийдир. С. Н. Бернштейн « > 1 0 бўлганда «„(х)
кўпҳаднинг илдизлари орасида доимо комплекслари мавжуд экан-
дигини кўрсатди. Демак, я > 1 0 бўлганда Чебишевнинг (6 .4 )
квадратур формуласи мавжуд бўлмас экан.
Куйида 
п 
=
1(1)7 ва 
п
= 9 учун Чебишевнинг квадратур фор-
муласининг тугунлари келтирилган:
п
 = 1
*1 = 0;
п =
 2
—х%
 
= х 2=
0,5773502691;
’ 
п
 = 3
832
www.ziyouz.com kutubxonasi


— л;4 
— х а —
 0,7071067812, л а =*0;
п = 4
_ х , = х 4 = 0,7946544723, 
—х 3 = л:3 = 0,1875924741;
п —
 5
—х х
= х 5 = 0,8324974870, 
—х 3 = х 4 = 0,3745414096, л:3 = 0;
п
 = 6
— *! = л:6 = 0,8662468181, 
—л:2 = л:5 = 0,4225186538,
—л:3 = л:4= 0,2666354015;
« = 7
—х х
 = л:7 = 0,8838617008, 
—л:2 = л:„ = 0,5296567753,
—л:3 = л : 5 = 0,3239118105, л:4 =* 0;
п ~
 9

= л : 9 = 0,9115893077, 
—л:а = л : 8 *= 0,6010186554,
_ л : 3 = л:7 = 0,5287 617831, 
—л:4 = л:6 = 0,1679061842, * * = (> .
М и с о л. Чебишев формуласи билан л = 7 бўлганда
 
е 
й х
 
1
I
 =
-------------= — 1п 10 = 0,25584279 . . .
)
 
1 +
9 х
 
9
о 
,
интегрални ҳисоблайлик. Бу ерда 
х
=
( ( +
1) 
алмаштириш 
бажариб,
интеграллаш оралиғини [— 1, 1] га келтирамиз:
е 
й 1
/== 11 11 + 9* '
Ҳисоблашларни олти хона аниқликда олиб борамиз:
Д х г)
= 0,328381, 
/ ( х 2)
= 0,160434, 
/ ( х 2)
= 0,123689,
/ ( х / )
= 0,090909, 
/ ( х ъ)

Download

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   139   140   141   142   143   144   145   146   ...   186




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish