|
Нп(1)
= ^
{Ах)/[х)йх
— 2
Ак Д х к )
а
к
~ 1
учун қуйидаги тенглик ўринлидир:
/?„(/) =
I р(*)Ф(х)йх.
(3.5)
62
И сбот. Ушбу
Н(Хс ) = / ( Х
1
), Н'(Х
1
)
=
/'(XI
) (г = 1,
п)
шартларни қаноатлантирувчи Зрмит интерполяцион кўпҳади
Н(х)
ьи тузамиз. б- боб 13- § даги формулага кўра Эрмит интерполяци-
сн формуласи қолдиқ ҳади билан бирга қуйидагича ёзилади:
Дх)
=
Н(х)
+
{~ - Д 1п)(г),
(з.б)
бу ерда
у
] х га
боғлиқ бўлиб,
х
ва интерполяция тугунлари
х,,
х „
. . . .
х„
жойлашган оралиқда ётади. Агар
х £ [ а , Ь\
ни ҳисоб-
гя олсак,
У
ҳолда
[а,
Ь\.
Энди (3.6) нинг ҳар икки томонини
\{х)
га кўпайтириб,
а
дан
Ь
гача интеграллаймиз:
0
ь
ь
,[ Р
(х)Дх)йх
= | Р
(х)Н(х)с1х
+
|
{{х)Фп(х)Д2п\ г) йх.
(3.7)
а
а
'
а
Охирги интегралнинг мавжудлиги қолган икки ингегралларнинг
мавжудлигидан келиб чиқадц.
Н(х)
кўпҳаднинг даражаси 2
п
— 1
бўлгани учун, ўнг томондаги биринчи иитегрални
П
П
■
2
Ак Н(хк )
= 2
л к Д х
к )
к=1
818
www.ziyouz.com kutubxonasi
квадратур йиғинди билан алмаштириш мумкин:
| Р
{х)/{х)йх
= 2
А*
1 р (* )<
( х ) / {2п)Ш * -
а
1
а '
Бундан кўринадики,
=
|
р
(
л
:К И / (2',)(Л ^ -
Энди
р(х)и>1(х)
> 0 эканлигини назарда тутиб, ўрта қиймат ҳақи-
Даги умумлашгай теоремани қўлласак, қолдиқ ҳад учун (3.5) фор-
мула келиб чиқади.
4. Г аусс типидаги квадратур ф орм улаларнинг яқинлаш и-
ши. Юқорида, р(х) > 0 бўлса, барча
п —
1, 2 . . . . учун Гаусс
типидаги
I р
( х ) / (х) йх
= 2 + Л / ( 4 П>) + # « 0 0
а
*=1
квадратур
. Агар
формуланинг мавжуд бўлишини кўриб ўтдик.
П т
п
и
^ А ( / / ( х ^ )
= |
р(х)/(х)с1х
к =
1
п -> о о
тенглик бажарилса, у ҳолда /(гс) функния учун
квадратур фор-
мула яқинлашада
дейилади.
4-
теорем а. Агар
[
а
, й] оралиқ чекли ва
/ ( х )
функция бу
оралиқда узлуксиз бўлса, у ҳолда Гаусс типидаги квадратур фор-
мула яқинлашади.
И сбот.
п
-> оо да
Хп{Г)
= |
№ ) / ( х ) й х
- 2 л<">/(4п))
й=1
эканлигини исботлаш керак.
[а, Ъ\
оралиқ чекли ва бу оралиқда
/ ( х )
узлуксиз бўлганлигидан Вейерштрасс теоремасига кўра берил-
ган ҳар бир е > 0 сон учун шундай
Р(х)
кўпҳад мавжудки, их-
тиёрий
х£[а, Ь\
учун
1/(х
) —
Р(х)
| < з
(3.8)
тенгсизлик ўринли бўлади. /?„(/) ни қуйидаги кўринишда ёзиб
оламиз:
/?„(/) = | р(*)
(Лх )
-
Р(х) )йх
+ [ |
р(х)Р(х)йх
—
а
а
- 2 л < « + (^ )) ] + 2
л / ( Р ( х / > ) -
/(*<">)).
(з.9)
А=1
А=1
319
www.ziyouz.com kutubxonasi
Квадрат қавслардаги ифода
Р(х)
кўпҳад учун квадратур формула-
нинг
Р п(Р)
қолдиғидан иборатдир. Агар бу кўпҳаднинг даражаси-
ни
орқали белгиласак, у ҳолда 2
п
— 1 >
Аг
бўлганда
Р п(Р) =
= 0 бўлади. Энди (3.9) даги қолган ифодалар (3.8) тенгсизликка
кўра қуйидагича бақоланади:
~
ь
ь
I | р(*)
( У ( х ) — Р ( х ) ) ^ х
| < 5 | р
( х ) с ! х ,
а
а
12
А{^
л
п)) - / ( . л п)) )
| < е 2
а
<
у
}
= £ 1 р(^)^.
к
—1
&= 1
а
Демак, 2/г— 1 > т У б ў л г а н д а
ь
I
Р п(У)
I < 2г |
о(х)йх
а
бўлади. Шу билан теорема исботланди.
Умумий кўринишдаги (Гаусс типидагина эмас) квадратур фор-
мулалар кетма-кетлигини
р
(х)У(х)йх
=
^
А { У У ( х(кп))
+
Яп(У)
а
/г=1
қараймиз. Бу ерда
\а, Ь}
оралиқ чекли ва бу оралиқда р(лг) вазн
интегралланувчи ихтиёрий функция бўлсин. Бу квадратур форму-
ла учун қуйидаги теорема ўринлиДир.
5-
т еор ем а.
/(х) \а, Ь
] оралиқда узлуксиз бўлган ихтиёрий
функция бўлсин. У ҳолда
п
Ъ
Нш 2 /фп)/(;с<ф) = Г Р
(х)/(х)с1х
(3.10)
П-1-ОО
'
' «.I
/е—1
а
тенгликнинг бажарилиши учун қуйидаги икки шартнинг бажари-
лиши зарур ва етарлидир:
1)
У(х)
ихтиёрий кўпҳад бўлганда, (3.10) тенглик ўринли.
2)
Шундай
Ь
сон мавжудки, унинг учун:
2 | А / )| < 1
(« = 1 , 2 , 3 . . . ) .
'
Агар квадратур формула интерполяцион, унинг А / ) коэффи-
циентлари барча
к
ва
п
лар учун мусбат бўлса, у ҳолда теорема
шартлари бажарилади. Шундай қилиб, 4 - теорема 5 - теореманинг
хусусий ҳолидир.
4- §. ДАВРИЙ ФУНКЦИЯЛАРНИ ИНТЕГРАЛЛАШ
Бу параграфда 2~ даврли
У(х)
функцияларни тақрибий интеграл-
лаш масаласини кўрамиз. Бу ерд! табиийки, квадратур формула-
320
www.ziyouz.com kutubxonasi
Нинг аниқлик даражаси алгебраик кўпҳадга нисбатан эмас, балки
тригонометрик кўпҳадга нисбатан қаралади.
Агар ушбу квадратур формула
■
2
п
п
Д х ) с 1 х ^ ^ А (/ / ( х (/ )
( 4 " ) € [ 0 > ] )
(4.1)
0
Ь = 1
ихтиёрий
т
— 1-тартибли тригонометрик кўпҳадлар учун аниқ бў-
либ, бирорта
т-
тартибли тригонометрик кўпҳад.учун аниқ бўл-
маса, у ҳолда бу
формулананг тригонометрик аницлик тар
-
тиби т —
1
га тенг
дейилади.
Т еор ем а.
п
тугунли квадратур формулалар тўпламида
х<"\
х\/>,
. . .
х 1/
тугунлари [0,2-ге] оралиқда текис жойлашган ва коэф-
фициентлари ўзаро тенг бўлган квадратур формула энг юқори три-
гонометрик аниқлик тартибига эга бўлиб, бу тартиб
п
— 1 га тенг.
И сбот. Аввало, (4.1) кўринишдаги ихтиёрий квадратур форму-
ланинг аниқлик даражаси
п — \
дан ортмаслигини кўрсатамиз.
Квадратур формуланинг
х (Ап)
тугун нуқталаридан фойдаланиб,
п
у.
__
Лп)
'
Л ^ ) - П в « п ' — 2 ^ “
к
= 1
функцияни тузайлик. Ҳар бир кўпаювчи
X
—
Х^и^
I
$1п2 —
— =
~ 2
[1 ^ с о з л ^ с О з л : — з т л ^ з т л ;]
биринчи тартибли тригонометрик кўпҳад бўлгани учун,
/(.
х) п-
тартибли тригонометрик кўпҳаддир. Бу кўпҳад учун (4.1) формула
аниқ эмас, чунки
ва
12®
'
^ Д х ) йх
2я
п
I п
м
51ГГ
й л : > 0
*=1
п
о-
к
= 1
Демак,
п
тугунли ихтиёрий квадратур формуланинг тригонометрик
аниқлик тартибй
п
— 1 дан ортмайди. Энди ихтиёрий «€ 0,
2-^ '
п .
учун ушбу
2*
|
/ ( х ) й х
2п
п
+ ( £ — 1) —
П
(4.2).
квадратур формуланинг барча
/ ( * ) =
С
08
кх,
$1пАл: (£ = 0, 1, . , . , л — 1)
{1—2105
321
www.ziyouz.com kutubxonasi
функциялар учун аниқ эканини кўрсатамиз. Бунинг учун унинг
барча
; -
( Й = 0 , 1, . . . . я - 1 )
функциялар учун аниқ эканини кўрсатиш кифоядир. Агар
к
= 0
бўлса,
Д х )
= 1 бўлиб, (4.2) формуланинг аниқ экани равшандир.
Энди 0 <
к
<
п
— 1 бўлсин. У ҳолда
2*
| / (
х
)
йх
0
|
е1кхйх
=
2«
е гй* | = 0 .
0
Ш у билан бир вақтда квадратур йиғинди ҳам нолга тенг:
2 / < * , ) - 2
= « " •
2
1=1
/= 1
/=1
1 к — .гг
1кч
е
— 1
2*»
.
О м
е
— I
1к —
=
0
.
1к —
е
" — 1
е
Шундай қилиб, (4.2) формуланинг тригонометрик аниқлик тартиби
п
— 1 га тенг экан.
Ихтиёрий
а£
п Т
о, -
’
п
учун
772
|
/ ( х ) й х
2 / ( « + < * - » т )
(4-3)
квадратф формуланикг
п
— 1- тартибли ихтиёрий
Т
„_!(*) =
а 0
+ 2 (
ййс
°
з
у Ь : + йА51П у ^
тригонометрик кўпҳад учун аниқ тенгликка айланишини кўрсатиш
қийин эмас.
Мисол сифатида уш бу
2
е д
=
|
й<9
/ 1 — й251п2у
тўлиқ эллиптик интегралнинг
Download Do'stlaringiz bilan baham: |
