Ўзгармас коэффициентли бир жинсли бўлмаган чизиқли тенгламалар

Мисол 1. Эйлер тенгламасини умумий ечимини топинг:

Ечиш. Тенгламада алмаштириш бажариб, ҳосилаларни топамиз:
.
Бу ифодаларни тенгламага қўйиб,
ёки
тенгликни ҳосил қиламиз.
Уни соддалаштириб, кўринишдаги ҳарактеристик тенгламани топамиз. Илдизлари бўлиб, унга мос ечим

кўринишда бўлади. эканлигидан ( )

умумий ечимни ҳосил қиламиз.
Мисол 2. Тенгламани ечинг.
(3.21)
Ечиш. Тенгламани бир жинсли қисмини ёзиб оламиз . Унда алмаштириш бажариб, характеристик тенгламасини топамиз . Бу тенглама илдизлари бўлади. Бир жинсли тенгламанинг умумий ечими
ёки
кўринишда бўлади. (3.21) тенгламанинг ўнг томони бўлиб, алмаштиришга кўра кўринишга келади. Характеристик тенгламага қараб га нисбатан ўзгармас коэффициентли
(3.22)
тенгламани ёзамиз. Демак, , бу ҳолда хусусий ечим кўринишда қидирилади. (3.22) тенгламага ни қўйиб, ва номаълум коэффициентларни топамиз. (3.6-мисолга қаранг) . Демак,
.
Энди координаталарга ўтсак умумий ечим

кўринишда бўлади.
Эслатма 3. Ушбу 3.12-мисолда деб олиб, (3.21) га қўйиш ҳамда ва ларни топиш мумкин.

1. 
   Ўзгарувчан коэффициентли тенгламалар. Остроградский-Лиувилл формуласи.
   

Агар

(3.23)
тенгламани бирор хусусий ечими маълум бўлса, у ҳолда алмаштириш бажарилади. Бунда тенгламани чизиқлилиги сақланади, сўнгра ҳосил бўлган тенгламада белгилаш киритилиб тенгламани тартиби биттага камайтирилади.
Биз хусусий ҳолга алоҳида тўхталамиз.

тенгламанинг хусусий ечими маълум бўлса, уни умумий ечимини
(3.24)
кўринишдаги Остраградский-Лиувилл формуласи ёрдамида топиш мумкин.