Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги фарғона давлат университети

5-Лемма. – даврий абсолют кесмада интегралланувчи функсия интеграли
, , (55.23)
бир вақтда яқинлашади ёки узоқлашади.
Исбот. Ҳақиқатдан ҳам ҳар қандай , функсия узлуксиз, шунинг учун кесмада Риман маъносида интегралланувчи бўлади. (х тайинланган) функсия эса кесмада абсолют интегралланувчи, бундан ҳосилалари ҳам бу кесмада абсолют интегралланувчи бўлади яъни ҳар қандай ,
(55.24)
интеграл яқинлашади (33.5 даги 2-леммага қаранг).
Келинг, ни танлаймиз, шунда кесмада функтсия ягона нуқталарга эга бо'лмайди (55.1-бо'лимга қаранг), эҳтимол нуқта бундан мустасно, я'ни у ҳар қандай , учун кесмада Риман маъносида интегралланувчи; бу ҳар доим ҳам мумкин, чунки функтсиясининг абсолют интегралланувчанлигидан функтсиянинг фақат чекли сондаги махсус нуқтага эга эканлиги келиб чиқади (яна 55.1-бо'лимга қаранг).
Энди эътибор берайлик да ва функсиялар эквивалент ёки

шу сабабли, ко'риб чиқилаётган функтсияларнинг абсолют қийматларига, интегралларга нисбатан қо'лланиладиган, таққослаш белгиси деб номланган интегралларнинг яқинлашиш белгисига ко'ра (33.3-бо'лимдаги 1-теореманинг хулосасини ко'ринг).
,
бир вақтнинг о'зида яқинлашиши ёки узоқлашиши келиб чиқади. Интегралнинг яқинлашиши (55.24) туфайли, бу дарҳол (55.23) интеграллар бир вақтнинг о'зида яқинлашишини ёки узоқлашишини англатади
4-теорема (Дини белгиси). – даврий функтсия бо'либ, узунлик оралиг'ида абсолют интеграллананувчи.
Бундан, агар доимий узликсиз ёки биринчи турдаги узилиш нуқтаси ва ба'зи бир , , учун

интеграл яқинлашувчи бо'лса, у ҳолда функсиянинг Фуре қатори нуқтада
(55.26)
қиямтга яқинлашади.
1-Натижа. Агар теореманинг шартлари бажарилса, функтсиянинг исталган доимий нуқтасида (қисман - барча узлуксизлик нуқталарида) ушбу функтсиянинг Фуре қатори унинг кўрилаётган нуқтадаги қийматига яқинлашади.
2-Натижа. Агар даврий функтсия бо'лса, узунлик оралиг'ида абсолют интегралланса ва х нуқтада , , ва мавжуд бо'лса, у ҳолда Фурйе қатори функтсиянинг шу нуқтадаги (55.26) қийматига яқинлашади.