Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги фарғона давлат университети

1-боб бўйича хулосалар

II БОБ.
УМУМЛАШГАН ХОСИЛА АСОСИДА ТРИГАНОМЕТРИК ФУНКЦИЯЛАР ЁЙИЛМАСИНИНГ ЯГОНАЛИГИНИ МАСАЛАСИНИ ЕЧИШГА ЁНДОШУВ
2.1-§. Функциялар ортогонал тизими асосида бир каррали Фурье қатори коэффициентларининг баъзи хсусиятилари
_{Ўта мураккаб функцияларни Бернштейн теоремасига асосан интегралланиши содда бўлган қаторга ёйиш масаласи математик анализда муҳим масалалар туркумига киради. Бундай масалаларни ечишда мураккаб функцияларни маълум шартлар асосида бир каррали Фурье қаторига ёйиш мақсадга мувофиқдир[1,3]. Мақолада ушбу масалани ечишга ёндошув таклиф этилади.
Маълумки,} оралиқда узлуксиз функциялар тизими аниқланган бўлиб, ихтиёрий учун ушбу шарт бажарилса бўлса, у ҳолда берилган функциялар тизими оралиқда ортогонал функциялар тизими дейилади. Хусусий ҳолда лар учун ўринли бўлса, у ҳолда функциялар тизими оралиқда ортонормал функциялар тизими дейилади. Масалан,

тригонометрик функциялар тизими оралиқда ортогонал функциялар тизими бўлади.
оралиқда узлуксиз функция ва ортогонал тизим берилган бўлиб, ҳар бир функция узлуксиз ва айнан нол бўлмаган функция бўлсин. Агар шундай бир сонлар кетма–кетлиги топилиб, функционал қатор яқинлашувчи ва унинг йиғиндиси функцияга тенг бўлса, яъни тенглик ўринли бўлса, у ҳолда функция оралиқда ортогонал функциялар тизими бўйича ёйилган дейилади. Ушбу ёйилманинг маълум бўлган баъзи хусусиятларини кўриб чиқамиз.
1–хосса. Агар оралиқда , функционал қатор текис яқинлашувчи бўлса, у ҳолда бу қатор коэффициентлари учун
,
формула ўринли бўлади.
Исбот. оралиқда узлуксиз бўлган функция шу оралиқда Вейерштрасс теоремасига кўра чегаралаган ҳамдир. Агар текис яқинлашувчи қаторни чегараланган функцияга кўпайтирсак ҳам, текис яқинлашувчи қаторни ҳосил қиламиз. Шунинг учун берилган қаторни функцияга кўпайтириб

қаралаётган оралиқда текис яқинлашувчи қаторни ҳосил қиламиз. Бу қаторни ҳадма-ҳад интеграллаб,

тенгликни ҳосил қиламиз. Натижада 1-хосса исботланди.
Маълумки, коэффициентлари юқоридаги формула билан аниқланадиган қаторга Фурье қатори дейилади. оралиқда функцияни тригонометрик тизим бўйича Фурье қаторига ёйсак [2,3]

бунда ва Фурье коэффициентлари қуйидагича топилади:

.
Хусусан, бўлган ҳолда