Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги фарғона давлат университети

2–хосса (Риман леммаси). Агар чекли ёки чексиз интервалда функция абсолют интегралланувчи бўлса, у ҳолда

тенглик ўринли бўлади.
Исбот. Аввал чекли оралиқда Риман маъносида функция интегралланувчи бўлсин. Интегралланувчи бўлишлик шартига кўра, ихтиёрий сони учун шундай бир топилиб, бўлинишлар майдалиги бўлган бўлиниш учун Дарбунинг юқори ва қуйи йиғиндилар айирмаси бўлади [1,3], яъни , бунда . У ҳолда ҳар бир ва учун ва



,
бунда .
Ҳар аниқланган учун сон топилиб ва учун тенгсизлиги ўринли бўлади. Шундай қилиб учун , яъни бўлади.
Агар функция интервалда абсолют интегралланувчи бўлиб, нуқта ягона махсус нуқта бўлса, у ҳолда сон учун шундай мавжуд бўлиб, оралиқда функция Риман маъносида интегралланувчи ва бўлади. Шунинг учун учун


Демак, . Худди шунга ўхшаш
бўлади.
Хулоса қилиб айтганда:

1. 
   Агар оралиқда , функционал қатор текис яқинлашувчи бўлса, у ҳолда бу қатор коэффициентлари учун
   

,
_{формула ўринли бўлади;}

2. 
   Агар функция оралиқда абсолют интегралланувчи бўлса, у ҳолда тригонометрик тизимнинг Фурье коэффициентлари ва нолга интилади, яъни,
   

.