Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги фарғона давлат университети

Шунинг учун

4-натижадан то'г'ридан-то'г'ри 1 ва 3-натижалар келиб чиқади.
(55.26) ва (55.27) формулаларда функтсиясининг Фурйе қаторининг йиг'индиси унинг бутун сон о'қига даврий давоми эмас, балки кесмада берилган функтсиясининг о'зи билан ифодаланганлигини эслатамиз.
Агар функтсия 4-натижанинг шартларини қаноатлантирса, я'ни у кесмада бўлакли дифференциалланувчи ва бундан ташқари бо'лса (я'ни, нинг бутун сон о'қига даврий қаторига ёйиш мумкин бўлсин, шу жумладан чегарасида ҳам), демак кесманинг барча нуқтасида функтсиянинг қиймати унинг Фуре қаторининг йиг'индисига тенг:

Шунинг учун, кесманинг ҳар бир нуқтасида бундай функтсияни исталган аниқлик даражаси билан унинг Фурйе қаторининг қисмий йиг'индиси билан, я'ни синуслар ва ко'п ёйли косинусларнинг чизиқли бирикмаси билан ифодалаш мумкин (шунингдек, улар бу функтсияни тахмини оддий гармониклар йиг'индиси дейишади³). Ко'риб чиқилаётган ҳолатда даври бўлиши муҳим эмас: ихтиёрий даврий ҳолати о'згарувчининг оддий о'згариши билан ко'риб чиқилган даврга осонликча камаяди (55.12-бо'лимга қаранг).
1-Мисол. , 1 функсиянинг Фурйе қаторини топинг. Фурйе коеффитсиентларини ҳисоблаймиз:
,
,
функтсиясининг жуфтлигидан шуни келибчиқадики, у учун , . функтсия узлуксиз дифференциалланувчи ва шунинг учун 4-теоремадаги 4-натижа шартларини қаноатлантиради; Бундан ташқари, у кесманинг чегараларида бир хил қиймат қабул қилади, шунинг учун унинг кесманинг барча нуқталарида Фурйе қатори функтсиянинг ўзига яқинлашади:
.
Ушбу кетма-кетлик текис яқинлашади, бу унинг яқинлашаётган сонлар қатори билан таққосланишидан келиб чиқади:
.
функсиянинг графикалари ва унинг Фурйе қаторининг йиг'индисининг чизмаси 220-расм.

2. функсиянинг кесмадаги Фурйе қаторини топайлик.

Унинг тоқлигидан қуйидаги
,
,
келиб чиқади.
функтсия узлуксиз дифференциалланувчи ва 4-теореманинг 4-натижасидаги шартларини қаноатлантиради, лекин ; шунинг учун интервалнинг барча нуқталарида Фурйе қатори функтсиянинг о'зига яқинлашади:
, ,
ва нуқталарда қийматига интилади.
функтсиясининг Фурйе қатори энди унга бутун кесмада бир текис яқинлашмайди (ҳақиқатдан ҳам, унинг йиг'индиси кесмада узлуксиз бо'лиши керак, лекин уни чегарада узилишга эга). функтсиянинг, йиг'индиси ва унинг Фурйе қаторининг графикаларини таққослаш учун 221-расм.
3. Биз Фурйе қаторини функтсияга ёямиз:
, .
функтсия бироз сун'ий ко'ринишга эга бо'лса-да, унинг Фурйе қатори жуда содда шаклга эга ва бир қатор қизиқарли формулаларни олишга имкон беради.
функтсияни даврий ярим интервалда бутун сон о'қигача давом эттирамиз. Натижада тоқ функтсия пайдо бо'лади, унинг барча Фурйе коеффитсиентлари нолга тенг бо'лади: , .
коеффитсиентларини ҳисоблаймиз. Қисмларга бо'либ интеграллаш натижасида, қуйидагига эга бўламиз:
.
Демак,
(55.29)
4-теореманинг 4-натижаси асосида учун қуйидаги тенгликка эга бўламиз:
(55.30)
да, бу тенглик бажарилмайди, чунки да ҳосил бўлган қаторнинг йиг'индиси нолга, лекин .
(55.29) қатор йиг'индисининг 222-расмдаги келтирилган. Э'тибор беринг, ушбу кетма-кетлик, албатта, кесмада бир текис яқинлашмайди, чунки унинг йиг'индиси бу ерда узлуксиз функсия бўлмайди(қаторнинг текис яқинлашуви (55.29) 36.3-бо'лимда о'рганилган).
(55.30) даги ни га алмаштириб, ҳосил бо'лган тенгликнинг иккала томонини 2 га бо'линиб,
(55.31)
ҳосил қиламиз.
(55.30) тенгликдан ушбу келиб чиқади:
(55.32)
Олинган ифодани (55.31) га га қўйиб, қуйидагига эга бўламиз:
.
Ушбу тенглик ҳатто учун ҳам то'г'ри келади ва тенгликнинг иккала томонининг тоқлиги туфайли ҳам га тенг бо'лади, я'ни бутун оралиг'ида, лекин, албатта, унинг чегарасида қатор йиг'индиси нолга тенг.
Шуни ҳам та'кидлаймизки, (55.32) га қо'йиб, биз илгари дуч келган Лейбниц қатори деб аталадиган

ҳосил қиламиз (37.7-бо'лим, 2-мисолга қаранг).
5-мисол. функсиянинг да Фурйе қаторини топинг, ва унинг ёрдамида қатор йиғиндисини топинг.
6. Функсиялар учун Фурйе қаторини топинг
а) , ;
б) , ;
в) учун ва функтсиясида тоқ давом эттирилади.
Юқоридагилардан фойдаланиб, қаторнинг йиғиндисини ҳисобланг
, .