Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги фарғона давлат университети

I БОБ.
ТРИГАНОМЕТРИК ФУНКЦИЯЛАР ЁЙИЛМАСИНИНГ
ЯГОНАЛИГИНИ МАСАЛАСИ ФУРЬЕ ҚАТОРЛАРИ МИСОЛИДА


1.1-§. Фурьенинг триганометрик қатолари (умумий тушинчалар)
Ушбу параграф хар бир хади махсус даврий функциялар бўлган функционал қаторлар, яъни Фурье қаторлари классик таърифини умумий тушинчалар асосида келтирамиз. Маълумки, Фурье қаторларини триганометрик функциялар ёйилмаси сифатида қараб, унинг хар бир хадини қуйидагича ифодалаш мумкин

гармоникадан иборат ушбу
(6)
функционал қаторни қараймиз.
(6) қатор одатда тригонометрик қатор, сонлар эса тригонометрик қаторнинг коэффициентлари,

функциялар системаси эса тригонометрик система деб аталади.
Шундай қилиб, тригонометрик қатор гарчанд функционал қатор бўлса ҳам (унинг ҳар бир ҳади муайян функциялар бўлганлиги учун), ўз коэффициентлари лари билан тўла аниқланади.
(6) тригонометрик қаторнинг ушбу – қисмий йиғиндиси

тригонометрик кўпхад деб аталади.
функция оралиқда берилган ва шу оралиқда интегралланувчи бўлсин. У ҳолда функциялар ҳам, интегралланувчи ва узлуксиз функциялар кўпайтмаси сифатида интегралланувчи бўлади. Бу функцияларнинг оралиқ бўйича интегралларини ҳисоблаб, уларни қуйидагича белгилайлик:
,
, (7)

Бу сонлардан фойдаланиб, ушбу
(8)
тригонометрик қаторни тузамиз.
1-таъриф. коэффициентлари (7) формулалар билан аниқланган (8) тригонометрик қаторни функциянинг Фурье қатори деб аталади. сонлар эса функциянинг Фурье коэффициентлари дейилади.
Демак, берилган функциянинг Фурье қатори шундай тригонометрик функционал қаторки, унинг коэффициентлари шу функцияга боғлиқ бўлиб, (7) формулалар билан аниқланади. Шу сабабли (8) қаторни (унинг яқинлашувчи ёки узоқлашувчи эканлигидан қатъий назар) ушбу “ ” белги билан қуйидагича ёзилади:

Одатда (7) Эйлер Фурье формулалари дейилади. Чунки бу формулалар XVIII асрнинг иккинчи ярмида Эйлер томонидан, XIX асрнинг бошларида Эйлерга боғлиқ бўлмаган равишда Фурье томонидан топилган.
Мисол. Ушбу

функциянинг Фурье қатори тузилсин.
(7) формуладан фойдаланиб, бу функциянинг Фурье коэффициент-ларини топамиз:





Демак, берилган функциянинг Фурье қатори қуйидагича бўлади:

***