Ўзбекистон республикаси ахборот технологиялари ва коммуникацияларини ривожлантириш вазирлиги муҳаммад ал-хоразмий номидаги

 
ГЕОМЕТРИК ШАКЛДАГИ ФРАКТАЛ ОБЪЕКТЛАР
Ш.А.Анарова (профессор, Муҳаммад ал-Хоразмий номидаги ТАТУ) 
С.С. Бекназарова ((профессор, Муҳаммад ал-Хоразмий номидаги ТАТУ) 
Г.А. Қаюмова (катта ўқитувчи, Муҳаммад ал-Хоразмий номидаги ТАТУ) 
Ҳозирги кунда компьютер графикаси фанини ўрганиш долзарбдир. Мазкур 
фан асосан тўрт бўлимдан иборат бўлиб, энг тез ривожланаётган ва 
замонавийси бу фрактал графика бўлими ҳисобланади. Фракталларнинг 
тенгламаларини L-тизимлар, Итерацион функциялар тизимлари, R-функция 
(RFM), арифметик хусусиятли биномиал кўпҳадлар усули ва тўпламлар 
назарияси усуллардан фойдаланиб қуриш мумкин. Фракталларнинг 
тенгламасини қуриш учун уларнинг турлари аниқлаб олинади. Фракталларнинг 
геометрик, алгебраик, стохастик, қўл 
-
ижодий ва табиий турлари мавжуд [1 - 
3]. Шунингдек, тузилишига кўра бир ўлчовли, икки ўлчовли ва кўп ўлчовли 
турлари мавжуддир. 
Фракталларнинг асосий хусусиятларидан бири уларнинг ўзига-ўзи 
ўхшашлигидир [1 - 3]. Яъни маълум бир масштабда фракталларнинг 
тузилишлари унинг бошқа каттароқ масштабдаги тузилишига ўхшашдир. Яъни, 
агар фрактал тузилишларнинг қайсидир элементини бир неча марта 
катталаштирилса яна ўша фрактал тузилишлари намоён этади. Бу хусусият 

---

89 
аниқ бир синфдаги фракталлар учун ўринли. Кўпинча фрактал объектларнинг 
хусусиятларини ўрганиш математик усулларда баён этилади. Мазкур мақолада 
математик усулларда фрактал объектларнинг хусусиятлари ўрганилди. Фрактал 
тузулишларнинг характеристикаларини таққослаш ва ҳисоблаш учун 
тенгламаларини ишлаб чиқиш мақсадида, шунингдек, мос равишда топилган 
тенгламалар билан унга мос сонли экспримент натижалари келтирилади. 
Мақсадга эришиш учун қуйидаги алгоритм амалга оширилади.
1.
Фрактал объектларнинг бир нечта хусусиятларини ҳисоблаш учун 
математик тенгламалар ишлаб чиқиш; 
2.
Сонли экспримент ўтказиш; 
3.
Фрактал тузилишларни математик (физик) моделлаштириш. 
Қуйида фракталнинг таърифини келтирамиз “Фракталлар – қисмлардан 
ташкил топган, қайсидир маънода тўлалигича ўзига-ўзи ўхшаш тузилиш”. 
Фрактал учбурчакнинг таърифи: Фрактал учбурчак – бу тенг қиррали 
учбурчак, унинг томонларида тенг қиррали учбурчаклар рекурсив такрорланиш 
натижасида ҳосил бўлади, уларнинг томонлари олдинги учбурчакнинг ён 
томонининг узунлигининг 1/3ни нисбатини билдиради. Фрактал учбурчакнинг 
формуласини тўғри фрактал учбурчакнинг периметри ва юзасини ҳисоблашдан 
фойдаланиб топилади. Бунда рекурсив процедуралардан фойдаланилади [1, 2]. 
Мунтазам фрактал учбурчак периметри ва майдони 

---

90 
................................................................................................................................. 
n-
қадам
:
; 
Юқорида келтирилган формулаларда 1-дан 4-тартибгача фрактал 
учбурчакларнинг контурлари қурилиб, фрактал учбурчак майдони ва 
периметрининг унинг тартибига аналитик боғликлиги аниқланди.
Хулоса: фрактал учбурчак майдони камаювчи геометрик прогрессиянинг 
йиғиндиси (махражи q=4/9) бўлиб, у чекли. Фрактал учбурчакнинг периметри 
ортиб борувчи геометрик прогрессиянинг йиғиндиси (махражи q=4/3) бўлиб, 
тартиб рақами ошган сари у ҳам ортиб боради. 
Тўғри фрактал пирамидани аниқлаш.
 
Мунтазам фрактал пирамида 
тетраэдр деб ҳисобланганда, унинг ташқи сиртлари ҳам мунтазам 
пирамидалардан қурилади, уларнинг қирралар узунлиги олдинги пирамиданинг 
қирра узунлининг 1/2 га тенг.

---

91 
Мунтазам фрактал пирамидани сирт юзаси ва ҳажми (тетраэдр) 
0-
қадам
:
. 
Мунтазам фрактал пирамидани сирт юзаси ва ҳажми (октаэдр) 
1-
қадам
:
;
. 

---

92 
Мунтазам фрактал пирамиданинг ҳажми камаювчи геометрик прогрессия 
элементларининг йиғиндиси бўлиб, бу тўплам чекли бўлади. Мунтазам фрактал 
пирамиданинг сирт майдони ортиб борувчи геометрик прогрессия бўлиб, 
пирамиданинг тартиб рақами ортган сари у ҳам ортиб боради. 
Мазкур мақолада ики ўлчовли ва уч ўлчовли фрактал объектларнинг баъзи 
хусусиятлари таҳлил қилинди, улар учун фрактал қийматларнинг маълум бир 
тартибгача бўлган баъзи хусусиятларининг аналитик боғлиқликлари аниқланди.
Адабиётлар рўйхати 
1.
Мандельброт Б. Фракталная геометрия природи / Пер. с англ. – М.: Институт компютерних 
исследований, 2002. – 656 с.
 
2.
Назиров Ш.А., Анарова Ш.А., Нуралиев Ф.М. Фракталлар назарияси асослари / Тошкент-2017, 
“Наврўз” нашриёти, 
–
128 б.
3.
Балханов В.К. Основы фрактальной геометрии и фрактального исчисления. Отв. ред. Ю.Б. Башкуев. 
Улан-Удэ: Изд-во Бурятского госуниверситета, 2013. – 224 с.