Замонавий узлуксиз таълимни рақамлаштириш: педагогика соҳасида

Murakkab funksiyaning hosilasi.
 
Aytaylik, 
u=

(x)
funksiya 
(a,b)
intervalda, 
y=f(u)
funksiya esa 
(c;d)
da aniqlangan bo`lib, bu funksiyalar 
yordamida 
y=f(

(x))
murakkab funksiya tuzilgan bo`lsin (bunda, albatta, 
x

(a,b)
da 
u=

(x)

(c,d)
bo`lishi talab qilinadi).

---

239 
Teorema
. Agar 
u=

(x)
funksiya 
x

(a,b)
nuqtada hosilaga ega, 
y=f(u)
funksiya esa 
u=

(x)
nuqtada hosilaga ega bo`lsa, u holda 
y=f(

(x))
murakkab funksiya 
x 
nuqtada hosilaga ega va
(f(

(x)))`=f`(u)

`(x)
(1.1) 
formula o`rinli bo`ladi. 
Isboti.
u=

(x)
funksiya 
x
nuqtada hosilaga ega bo`lganligi uchun 
uning 
x
nuqtadagi orttirmasini formuladan foydalanib 

u=

`(x)

x+

x
(1.2) 
ko`rinishda yozish mumkin, bu yerda 

x

0 da 


0. 
Shunga o`xshash, 
y=f(u)
funksiyaning 
u
nuqtadagi orttirmasini

y=f`(u)

u+

u
(1.3) 
ko`rinishda yozish mumkin, bunda 

u

0
da 


0.
So`ngi (1.3) tenglikdagi 

u
o`rniga uning (1.2) tenglik bilan 
aniqlangan ifodasini qo`yamiz. Natijada 

y=f`(u)(

`(x)

x+

x)+

(

`(x)

x+

x)= 
f`(u)

`(x)

x+(f`(u)

+

`(x)

+

)

x 
tenglikka ega bo`lamiz.
Agar 

x

0 bo`lsa, (1.2) tenglikdan 


0 va 

u

0 bo`lishi, agar 

u

0 bo`lsa, u holda (1.3) tenglikdan 


0 ekanligi kelib chiqadi. 
Bulardan esa 

x

0 da 
f`(u)

+

`(x)

+

cheksiz kichik funksiya 
ekanligi kelib chiqadi, uni 

bilan belgilaymiz. 
Shunday qilib, 

y=f`(u)

`(x)

x+

x
tenglik o`rinli. Bundan
y
x


= 
f`(u)

`(x)+

va
0
lim
x
 
y
x


=
f`(u)

`(x)
o`rinli ekanligi kelib chiqadi. Bu 
esa
y`= f`(u)

`(x)
ekanligini isbotlaydi. 
Misol. 
y
=
4
2
2
x
x







funksiyaning hosilasini toping. 
Yechish. Bu yerda 
y=u
4
,
u=
2
2
x
x







.
Demak, 
y`=(u
4
)`

2
2
x
x







`= 
=
4u
3
2
2
2
x
x







=8
3
2
2
2
1
x
x
x
x

 




 


 

. 
Amalda (5.1) tenglikni 
dy
dy du
dx
du dx


yoki
y
x
`=y
u
`u
x
`
ko`rinishda yozib, quyidagi qoida tarzida ifodalaydi: 
Murakkab funksiyaning erkli o`zgaruvchi bo`yicha hosilasi oraliq 
o`zgaruvchi bo`yicha olingan hosila va oraliq o`zgaruvchidan erkli 
o`zgaruvchi bo`yicha olingan hosilalar ko`paytmasiga teng. 

---

240 
Bu qoidani quyidagicha talqin qilish mumkin: agar berilgan nuqtada 
y o`zgaruvchi
u
ga nisbatan 
y
u
`
marta tez, 
u
esa 
x
ga nisbatan 
u
x
`
marta tez 
o`zgarsa, u holda 
y
o`zgaruvchi 
x
ga nisbatan 
y
u
`u
x
`
marta tez o`zgaradi, 
ya`ni 
y
x
`=y
u
`u
x
`
. 
Yuqoridagi qoida uchta, umuman chekli sondagi hosilaga ega 
bo`lgan funksiyalar kompozitsiyasi uchun ham o`rinli. Masalan, agar 
y=f(u),
u=

(t), t=h(x)
bo`lsa, u holda 
y
x
`=y
u
`u
t
`t
x
`
tenglik o`rinli bo`ladi. 
 
Asosiy elementar funksiyalarning hosilalari 
y=x

(x>0) darajali funksiyaning hosilasi
. Bu funksiyaning 
x
nuqtadagi 
orttirmasi 

y=(x+

x)

-x

=x

((
1
x
x


)

-1)
ga 
teng 
va
1
(1
)
1
x
y
x
x
x
x
x










bo`ladi. Ma`lumki, 
0
(1
)
1
lim
x
x
x






. Shuning uchun 
1
1
0
0
(1
)
1
lim
lim
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x

















. Bundan funksiyaning 
x
nuqtadagi hosilasi 
mavjud va 
y`=

x

-1
bo`ladi. 
Demak, 
(x

)`=

x

-1
va 
d(x

)=

x

-1
dx
formulalar o`rinli. 
Murakkab funksiyaning hosilasini hisoblash va differensiali 
formulalarini foydalangan holda, 
(u(x))

ko`rinishdagi murakkab funksiya 
uchun quyidagi formulalarni yozish mumkin: 
((u(x))

)`=

(u(x))

-1

u`(x), d((u(x))

)= 

(u(x))

-1

u`(x)dx
. 
Masalan 
y=(x
2
+1)
3
funksiyaning hosilasini topish talab qilinsin. Bu 
misolda 
u(x)=(x
2
+1), 

=3
. Demak, yuqoridagi formulaga ko`ra 
y`=3(x
2
+1)
2

((x
2
+1)`=3((x
2
+1)
2

2x=6x(x
2
+1)
2
bo`ladi. 
Ko`rsatkichli funksiyaning hosilasi
. y=a
x
(a>0, a

1)
ko`rsatkichli 
funksiya uchun 

y=a
x+

x
 -a
x
=a
x
(a

x
-
1) va 
(
1)
x
x
y
a a
x
x






.
Ma`lumki, 
0
1
lim
ln
x
x
a
a
x

 



. Shuning uchun 
0
0
1
lim
lim
x
x
x
x
y
a
a
x
x

 
 





= =
a
x
lna
mavjud. Demak 
(a
x
)`=a
x
lna
va 
d(a
x
)`=a
x
lnadx
, xususan, 
(e
x
)`=e
x
va 
d(e
x
)`=e
x
dx
formulalar o`rinli ekan. 
Ko`rinib turibdiki, 
y=e
x
funksiya ajoyib xossaga ega: uning hosilasi 
o`ziga teng ekan. 

---

241 
Misol. 
y=e
x
funksiya grafigi 
O
y
o`qini qanday burchak ostida 
kesib o`tadi? 
Yechish. Funksiya grafigi 
Oy o`qini (0;1) nuqtada kesib 
o`tadi. Funksiya grafigiga shu 
nuqtasida o`tkazilgan urinmaning 
burchak koeffitsientini topamiz: 
y`=e
x
va 
y`(0)=e
0
=1
, bundan esa 
urinmaning Ox o`qi bilan kattaligi 

/4 ga teng bo`lgan burchak 
tashkil qilishi kelib chiqadi. U 
holda urinma Oy o`qi bilan ham 
kattaligi 

/4 ga teng bo`lgan burchak tashkil qiladi. 
1-rasmda 
y=e
x
funksiya grafigi berilgan, bunda funksiya grafigi
10-rasm 
x
=0 nuqta atrofida 
y=x-1
to`g`ri chiziqqa urinadi. 
Yuqoridagi misolda olingan natija 
e
soniga quyidagicha ta`rif 
berishga imkon beradi: e soni deb ordinata o`qini 

/4 burchak ostida kesib 
o`tuvchi ko`rsatkichli funksiyaning asosiga aytiladi. 
a
u(x)
(
a
>0, 
a

1) funksiya uchun quyidagi formulalarning o`rinli 
bo`lishini ko`rish qiyin emas: (
a
u(x)
)`=
a
u(x)

u`(x)

lna, d(a
u(x)
)= 
a
u(x)

u`(x)

lna

dx
. 
Masalan, (
3
5x-3
)`=3
5x-3

(5x-3)`

ln3=5

3
5x-3

ln3
. 
Foydalanilgan adabiyot 
1.
Д.Искандаров Олий алгебра I том. Укув педдавнашр 1960й. 
2.
Г.М.Фихтингольс Математик анализ асослари. Т. «Укитувчи» 
1972й. 
3.
В.Е.Шнейдер, А.И.Слуцский, А.Е.Шумов Олий математиканинг 
киска асослари. I ва II том. М.”Высшая школа” 1978 
4.
Е.У.Соатов Олий математика. I ва II жилд. Т.”Укитувчи” 1992й. 
5.www.ziyonet.uz 

---

242 
SMART VA ZAMONAVIY TA'LIMNI RIVOJLANISH USULLARI
 
Mamadaliyev T. V.- Qori Niyoziy nomidagi O’zPFITI doktoranti 
 
Annotatsiya: 
axborot 
texnologiyalarining 
jadal 
rivojlanishi 
natijasida an'anaviy ta'lim va elektron ta'limning odatiy va ancha 
cheklangan 
kombinatsiyasi 
asta-sekin 
SMART-ta'lim 
bilan 
almashtirilmoqda. Ushbu maqolada Smart va zamonaviy ta’limni 
rivojlantirish usullari keltirilgan. 
Kalit so’zlar.
axborot, smart, zamonaviy, usul, tarmoq, kompyuter 
telefon, signal aloqa 
Аннотация: 
результате 
стремительного 
развития 
информационных технологий привычное и более ограниченное 
сочетание традиционного образования и электронного обучения 
постепенно вытесняется SMART-обучением. В этой статье дается 
краткий обзор умного и современного образования. 
Ключевые слова.
информация, умный, современный, метод, 
сеть, компьютерный телефон, тревожная связь 
XXI asr axborot-kommunikatsiya texnologiyalari (AKT) insoniyat 
yashash maydonining ajralmas qismiga aylanib borayotgan davrdir. Bugun 
ishonch 
bilan 
aytish 
mumkinki, 
odamlarning 
yangi 
raqamli 
texnologiyalarga qiziqishi paydo bo'ldi, ular uchun mobil telefonlar, 
kompyuterlar va Internet tabiat va jamiyat kabi ularning hayotini asosiy 
elementlari hisoblanadi. 
Zamonaviy ta'limni rivojlantirish uchun inson kapitalining ta'siri endi 
yetarli emas. Faqat mehnat resurslari hajmini oshirish emas, balki ta’lim 
muhitining o‘zini o‘zgartirish kerak, ta’lim sifatining o‘zi, uning usullari, 
vositalari va muhiti sifat jihatidan o‘zgarishi kerak, elektron ta’limga 
umumiy o‘tish zarur. 
Axborot texnologiyalarining jadal rivojlanishi natijasida an'anaviy 
ta'lim va elektron ta'limning odatiy va ancha cheklangan kombinatsiyasi 
asta-sekin SMART-ta'lim bilan almashtirilmoqda. 
Hozirgi vaqtda SMART ta'limning aniq belgilangan kontsepsiyasi 
mavjud emas, aksincha, ta'lim sohasida paradigma shakllangan bo'lib, u 
ko'pincha bir-biriga zid bo'lgan, lekin ma'lum bir innovatsion salohiyatga 
ega bo'lgan texnologik, tashkiliy, pedagogik yechimlar to'plamidir. 
Hozirgi vaqtda "aqlli" ("SMART") ning mashhur komponenti ko'plab 
boshqa so'zlarga qo'shilib, "aqlli uy", "aqlli shahar" va boshqalar kabi 

---

243 
"moda" tushunchalarni shakllantiradi. O'qitishda qo'llaniladigan turli xil 
elektron muhitlar va texnologiyalar "aqlli" deb ham ataladi, garchi 
ularning faqat ba'zi jihatlari haqiqatan ham SMART ta'limning tubdan 
yangi talablariga javob beradi yoki umuman javob bermaydi. 
Bunday noaniqlik ushbu yangi ta'lim tendentsiyasi bilan bog'liq 
tadqiqotlar uchun ham xarakterlidir. Ta'limdagi asosiy tendentsiyalarni 
qayd etuvchi va ta'lim tizimidagi keyingi o'zgarishlar uchun bashoratli 
prognozlarni yaratuvchi SMART Education nashrlari bir necha yil oldin 
paydo bo'lgan edi. Biroq, bu nashrlarning o'zlari endi rivojlangan 
kontseptual tizimga ega o'rnatilgan paradigmadan ko'ra, ta'lim sohasidagi 
tizimli echimlar va texnologiyalar misollarining tavsifi hisoblanadi. 
Shunday qilib, SMART ta'limning shakllanmagan paradigmasi 
hozirgi vaqtda bir qator tushunchalar bilan bog'liq bo'lib, ularning 
ko'pchiligi bir ma'noli talqinga ega emas. SMART ta’limning yaxshi ishlab 
chiqilgan konsepsiyasiga ega bo‘lish uchun ushbu konsepsiyaning asosini 
tashkil etuvchi asosiy tushunchalarni ko‘rib chiqish zarur. Ularning 
ma'nosini aniqlashtirish SMART ta'lim kontseptsiyasining ahamiyatsiz, 
tushunarsiz yoki qarama-qarshi talqinlaridan qochadi. 
"SMART-texnologiya" tushunchasi nisbatan yaqinda mashhur bo'ldi, 
ammo "SMART" kontseptsiyasining tarkibiy qismi so'nggi qirq yil 
davomida ilmiy jamoatchilikka ma'lum. Dastlab, aerokosmik tadqiqotlar 
sohasida paydo bo'lgan atama fanning boshqa sohalaridan olingan. 
Birinchi marta SMART tuzilmasi kontseptsiyasi aerokosmik 
texnologiyalar kontekstida qayd etildi, uning yaratilishi uchta tendentsiya 
bilan qo'llab-quvvatlandi: yangi materiallarga o'tish, yangi material 
xususiyatlaridan foydalanish, elektronika va axborot texnologiyalaridagi 
yutuqlar. 
SMART tuzilmalarining asosiy vazifasi atrof-muhitga javob berish 
va unga kiritilgan sensorlar, signallar, aloqa va boshqa elementlar 
yordamida uni oldindan aytib bo'ladigan (ma'lum) tarzda o'zgartirishdir. 
SMART tuzilmalari nafaqat mexanik stressga bardosh bera oladi yoki 
bardosh bera oladi, balki tebranishlarni kamaytiradi, akustik shovqinni 
yumshata oladi, ish paytida va ish paytida strukturaning yaxlitligini 
nazorat qiladi va tashqi ogohlantirishlar ostida strukturaviy elementlarning 
shakli yoki mexanik xususiyatlarini o'zgartiradi. 
SMART 
tuzilmasi 
tushunchasi 
SMART 
materiallari 
kabi 
tushunchani o'z ichiga oladi. Qayd etilishicha, “SMART-materiallar” 
“SMART” xususiyatini faqat tizimning tashqi muhiti bilan o‘zaro aloqada 
ko‘rsatishi mumkin. SMART materiallari atrof-muhitdagi o'zgarishlarni 

---

244 
avtomatik ravishda aniqlash va ularga berilgan harakat bilan javob berish 
qobiliyati bilan tavsiflanadi. 
Shunday qilib, SMART - bu tizim yoki jarayonning atrof-muhit bilan 
o'zaro ta'sirida namoyon bo'ladigan va tizimga va/yoki jarayonga 
quyidagilar qobiliyatini beradigan xususiyatdir: 
- tashqi muhitdagi o'zgarishlarga darhol javob berish; 
- o'zgaruvchan sharoitlarga moslashish; 
- mustaqil rivojlanish va o'zini o'zi boshqarish; 
- natijaga samarali erishish. 
SMART xususiyatlarining markazida atrof-muhit bilan o'zaro 
munosabatda bo'lish va moslashish qobiliyatidir. Bu xususiyat mustaqil 
ma'noga ega va shahar, universitet, ta'lim, jamiyat va boshqalar kabi 
toifalarga qo'llanilishi mumkin. Qirq yil oldin, bu xususiyat izolyatsiya 
qilinganida, texnologik rivojlanish darajasi ko'pchilik tizimlar yoki 
jarayonlarda bu xususiyatga erishishga imkon bermadi. Biroq, AKT 
sohasidagi zamonaviy yutuqlar SMART-shahar kabi juda murakkab 
tizimlarni qurish imkonini beradi.