Законы вероятностей сложных событий. Задание

«ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В

РАСЧЕТАХ НАДЕЖНОСТИ»

1. Законы вероятностей сложных событий.
Задание:

1. 
   Для заданного варианта задания определить надежность функционирования схемы. Вероятности безотказного состояния элементов за некоторое время Т заданы в таблице
   
2. 
   Рассчитать надежность схемы при условии, что элемент 4 работает безотказно.
   

№ вар.	Р1	Р2	Р3	Р4	Р5	Р6	Р7	Р8	№ схемы
9	0,94	0,9	0,93	0,96	0,95	0,95	0,97	0,92	5

1.Законы вероятностей сложных событий.
Задание:

1. 
   Для заданной схемы и значений вероятностей безотказного состояния элементов определить надежность функционирования схемы.
   
2. 
   Рассчитать надежность схемы при условии, что элемент 4 работает безотказно.
   

Схема соединений элементов.
Дано:
p₁ = 0,94; p₃ = 0,93; p₅ = 0,95; p₇ = 0,97;
p₂ = 0,9; p₄ = 0,96; p₆ = 0,95; p₈ = 0,92.
p_сх – ?
Решение:
1) События отказа и рабочего состояния элемента являются взаимно противоположными событиями. По 5 закону (Закон вероятностей для противоположных событий) найдем вероятности отказов элементов схемы:
q₁ = 1 – p₁ = 1 – 0,94 =0,006;
q₂ = 1 – p₂ = 1 – 0,9 = 0,1;
q₃ = 1 – p₃ = 1 – 0,93 = 0,07;
q₄ = 1 – p₄ = 1 – 0,96 = 0,04;
q₅ = 1 – p₅ = 1 – 0,95 = 0,05;
q₆ = 1 – p₆ = 1 – 0,95 = 0,05;
q₇ = 1 – p₇ = 1 – 0,97 = 0,03;
q₈ = 1 – p₈ = 1 – 0,92 = 0,08.
Найдем вероятности отказа и безотказных состояний отдельных участков схемы методом эквивалентирования последовательно-параллельных структур. Рассмотрим участок схемы, содержащий последовательно соединенные элементы 1,2 и 3:


Так как этот участок останется в работе только в случае, когда оба элемента будут в рабочем состоянии, для определения вероятности рабочего состояния схемы воспользуемся 3 законом (Закон умножения вероятностей для независимых и совместимых событий):
p_1-2-3 = p₁· p₂ · p₃ = 0,94·0,9·0,93 =0,78678.
По 5 закону (Закон вероятностей противоположных событий) найдем вероятность отказа этого участка схемы:
q_1-2-3 = 1 – p_1-2-3 = 1 – 0,78678 = 0,21322.
Рассмотрим участок схемы, содержащий параллельно соединенные элементы
8 и 8:

Так как отказ этого участка возможен только при отказе обоих элементов
одновременно, для определения вероятности отказа воспользуемся 3 законом (Закон
умножения вероятностей для независимых и совместимых событий):
q_8-8 = q₈· q₈ = 0,08 · 0,08 =0,064.
По 5 закону (Закон вероятностей противоположных событий) найдем вероятность
рабочего состояния участка схемы из элементов 8 и 8:


p_8-8 = 1 – q_8-8=1-0,064=0,936

Рассмотрим участок схемы, содержащий параллельно соединенные элементы

4,5 и 6:



Так как отказ этого участка возможен только при отказе обоих элементов
одновременно, для определения вероятности отказа воспользуемся 3 законом (Закон
умножения вероятностей для независимых и совместимых событий):
q_4-5-6 = q₄· q₅ · q₆ = 0,04·0,05·0,05 =0,0001.

По 5 закону (Закон вероятностей противоположных событий) найдем вероятность

рабочего состояния участка схемы из элементов 4,5 и 6:


p_4-5-6 = 1 – q_4-5-6=1-0,0001=0,9999

Пользуясь найденными значениями вероятностей сэквивалентированных участков 1-2-3 и 8-8, упростим схему:

Для параллельно работающих элементов 1-2-3 и 8-8 отказ этого участка возможен только при отказе обоих элементов одновременно, поэтому вероятность отказа:
q_1-2-3-8-8 = q_1-2-3· q_8-8 = 0,21322· 0,064 =0,01364608.
Вероятность рабочего состояния участка схемы:
p_1-2-3-8-8 = 1 – q_1-2-3-8-8 = 1 – 0,01364608 = 0,98635392.
Пользуясь найденными значениями вероятностей рабочего состояния сэквивалентированных участков, упростим полученную схему:

Так как схема останется в работе только в случае, когда все три элемента будут находиться в рабочем состоянии, вероятность рабочего состояния схемы определим по 3 закону (Закон умножения вероятностей для независимых и совместимых событий):