Законы сохранения в механике статика и гидродинамика механические колебания и волны основы термодинамики

Образец решения задачи.
Тело брошено горизонтально на высоте 35 м со скоростью 30м/с. Найти 
скорость тела при падении на землю.
Д а н о :
Ф о р м у л а :
Р е ш е н и е :
h
= 35 м
u
0
= 30 м/c
g
≈ 10 м/c
2
u
 =
υ
0
2
2
+
gh
υ=
(30 м/с)
2 
+ 2 · 10 
м
с
2
· 35 м = 
 
40 м/c.
Ответ: 
40 м/c.
Найти: 
u
– ?
1. В каких движениях участвует горизонтально брошенное тело?
2. Какой линией описывается траектория горизонтально 
брошенного тела?
3. Какая из горизонтальной и вертикальной составляющих скорости 
горизонтально брошенного тела не меняется на протяжении движения?
4. Приведите дополнительные примеры к теме из повседневной жизни.
5. Длина полета и высота броска тела, брошенного горизонтально со 
скоростью 10 м/с, равны. С какой высоты брошено тело?
Тема 7.
ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА, БРОШЕННОГО
ПОД УГЛОМ К ГОРИЗОНТУ
Рис. 1.11.

u
oy

u
0

u
=

u
x
x
y

u
x
h
мax
s
мax
α
0

u
0
x

u
y

u
Если рассмотреть движение 
тела, брошенного под углом 
относительно горизонта, можно 
увидеть, что тело отдаляется 
горизонтально от точки броска и 
одновременно поднимается в вер-
тикальном направлении. Значит, 
тело, брошенное под углом к 
горизонту, участвует в двух 

---

19
(горизонтальном и вертикальном) видах движения. В горизонтальном 
направлении тело движется равномерно. В вертикальном направлении до 
точки максимальной высоты тело будет двигаться равнозамедленно, затем 
вниз будет двигаться равноускоренно (рис. 1.11).
Траектория движения тела, брошенного под углом к горизонту, имеет 
вид параболы. Учитывая, что в процессе полета тело одновременно 
двигается в горизонтальном и вертикальном направлениях, разделим 
начальную скорость 
u
0
на горизонтальную (
u
0x
) и вертикальную (
u
0y
) 
составляющие:
υ
υ
α
υ
υ
α
0
0
0
0
x
y
= ⋅
= ⋅





cos ,
sin .
(1.28)
Для упрощения расчетов пренебрежем сопротивлением воздуха. В 
произвольный момент времени 
t
перемещение тела в горизонтальном 
направлении находим из следующего уравнения:
 
s
x
=
u
0
x
· 
t
= 
u
0
· 
t · 
cos
α
(1.29)
В произвольный момент времени 
t
скорость тела в горизонтальном и 
вертикальном направлениях можно найти из следующих уравнений:
u
x
= 
u
0
x
= 
u
0
· cos
α, 
u
y
= 
u
0
y
– 
gt = 
u
0
· sin
α
– 
gt.
(1.30)
На протяжении движения тела, брошенного под углом к горизонту, 
горизонтальная составляющая скорости не меняется, вертикальная 
составляющая при подъеме является равнозамедленной и на максимальной 
высоте подъема равняется нулю. Значит, тело, брошенное под углом к 
горизонту, имеет минимальную скорость в высшей точке траектории:
u
мin
= 
u
0
· cos
α.
(1.31)
Затем из этой точки тело движется как тело, брошенное горизонтально 
со скоростью 
u
0
x
.
Из соотношения 
u
y
= 0 или 
u
0
sin
α
– 
gt
= 0 на максимальной высоте 
траектории находим время подъема:
t
под
=
⋅
υ
α
0
sin
.
g
(1.32)
Максимальная высота подъема тела определяется следующим 
соотношением:

---

20
h
g
max
sin
.
=
⋅
υ
α
0
2
2
2
(1.33)
Время движения тела вниз (падение) равно времени подъема, т.е. 
t
под
= 
t
пад
. Отсюда, общее время полета:
t 
= 
2
0
υ
α
⋅
sin
g
.
(1.34)
Тело, брошенное под углом к горизонту, в горизонтальном направлении 
движется равномерно. По этой причине длина полета тела зависит 
только от горизонтальной составляющей скорости. Для определения 
дальности полета подставим выражение 
t
времени полета в выражение
s
x
 
= 
u
0
· t
= 
u
0
x
· 
t · 
cos
α
и получим:
 
s
x
= 
u
0
x
· 
t
= 
u
0
· cos
α
· 
2
0
υ
α
⋅
sin
g
или
s
g
=
⋅
υ
α
0
2
2
sin
(1.35)
Из этого выражения видно, что длина полета тела, брошенного 
под углом к горизонту, зависит от угла броска. На рис. 1.12 приведена 
зависимость длины полета и высоты подъема от угла броска. Из рисунка 
видно, что с увеличением угла броска увеличивается высота подъема.
Длина полета тела вначале растет с ростом угла броска и достигает 
максимального значения при 45
0
. Затем с дальнейшим увеличением угла 
броска длина полета уменьшается.
Выведем уравнение траектории движения тела, брошенного под углом к 
горизонту. Для этого в уравнение:
Рис. 1.12.
α = 70°
α = 60°
x

u
0
α = 45°
α = 20°
α = 30°
α
x
мax1 
x
мax2 
x
мax3
y
y
= 
u
oy
t
– 
gt
2
2
. 
подставляем выражение для времени по лета 
t
= 
x
υ
α
0
cos
из уравнения (1.29) и получаем 
уравнение траектории в следую щем виде:
y = x · 
tg
α
– 
g x
⋅
⋅
2
0
2
2
2
υ
α
cos
.
(1.36)

---

21
Таким образом, тело, брошенное под углом к горизонту, движется 
по параболе, проходящей через начало координат при 
x
= 0, 
y
= 0. В этом 
уравнении коэффициент перед 
x
2
отрицательный, значит, ветви параболы 
направлены вниз.
В реальных условиях сопротивление воздуха сильно влияет на 
дальность полета. К примеру, снаряд, пущенный со скоростью 100 
км/ч, в вакууме пролетает расстояние в 1000 м, а в воздухе 700 м. 
Из экспериментов следует, что при угле броска 30-40
0 
тело пролетает 
наибольшее расстояние.