|
Образец решения задачи.
Тело брошено горизонтально на высоте 35 м со скоростью 30м/с. Найти
скорость тела при падении на землю.
Д а н о :
Ф о р м у л а :
Р е ш е н и е :
h
= 35 м
u
0
= 30 м/c
g
≈ 10 м/c
2
u
=
υ
0
2
2
+
gh
υ=
(30 м/с)
2
+ 2 · 10
м
с
2
· 35 м =
40 м/c.
Ответ:
40 м/c.
Найти:
u
– ?
1. В каких движениях участвует горизонтально брошенное тело?
2. Какой линией описывается траектория горизонтально
брошенного тела?
3. Какая из горизонтальной и вертикальной составляющих скорости
горизонтально брошенного тела не меняется на протяжении движения?
4. Приведите дополнительные примеры к теме из повседневной жизни.
5. Длина полета и высота броска тела, брошенного горизонтально со
скоростью 10 м/с, равны. С какой высоты брошено тело?
Тема 7.
ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА, БРОШЕННОГО
ПОД УГЛОМ К ГОРИЗОНТУ
Рис. 1.11.
u
oy
u
0
u
=
u
x
x
y
u
x
h
мax
s
мax
α
0
u
0
x
u
y
u
Если рассмотреть движение
тела, брошенного под углом
относительно горизонта, можно
увидеть, что тело отдаляется
горизонтально от точки броска и
одновременно поднимается в вер-
тикальном направлении. Значит,
тело, брошенное под углом к
горизонту, участвует в двух
19
(горизонтальном и вертикальном) видах движения. В горизонтальном
направлении тело движется равномерно. В вертикальном направлении до
точки максимальной высоты тело будет двигаться равнозамедленно, затем
вниз будет двигаться равноускоренно (рис. 1.11).
Траектория движения тела, брошенного под углом к горизонту, имеет
вид параболы. Учитывая, что в процессе полета тело одновременно
двигается в горизонтальном и вертикальном направлениях, разделим
начальную скорость
u
0
на горизонтальную (
u
0x
) и вертикальную (
u
0y
)
составляющие:
υ
υ
α
υ
υ
α
0
0
0
0
x
y
= ⋅
= ⋅
cos ,
sin .
(1.28)
Для упрощения расчетов пренебрежем сопротивлением воздуха. В
произвольный момент времени
t
перемещение тела в горизонтальном
направлении находим из следующего уравнения:
s
x
=
u
0
x
·
t
=
u
0
·
t ·
cos
α
(1.29)
В произвольный момент времени
t
скорость тела в горизонтальном и
вертикальном направлениях можно найти из следующих уравнений:
u
x
=
u
0
x
=
u
0
· cos
α,
u
y
=
u
0
y
–
gt =
u
0
· sin
α
–
gt.
(1.30)
На протяжении движения тела, брошенного под углом к горизонту,
горизонтальная составляющая скорости не меняется, вертикальная
составляющая при подъеме является равнозамедленной и на максимальной
высоте подъема равняется нулю. Значит, тело, брошенное под углом к
горизонту, имеет минимальную скорость в высшей точке траектории:
u
мin
=
u
0
· cos
α.
(1.31)
Затем из этой точки тело движется как тело, брошенное горизонтально
со скоростью
u
0
x
.
Из соотношения
u
y
= 0 или
u
0
sin
α
–
gt
= 0 на максимальной высоте
траектории находим время подъема:
t
под
=
⋅
υ
α
0
sin
.
g
(1.32)
Максимальная высота подъема тела определяется следующим
соотношением:
20
h
g
max
sin
.
=
⋅
υ
α
0
2
2
2
(1.33)
Время движения тела вниз (падение) равно времени подъема, т.е.
t
под
=
t
пад
. Отсюда, общее время полета:
t
=
2
0
υ
α
⋅
sin
g
.
(1.34)
Тело, брошенное под углом к горизонту, в горизонтальном направлении
движется равномерно. По этой причине длина полета тела зависит
только от горизонтальной составляющей скорости. Для определения
дальности полета подставим выражение
t
времени полета в выражение
s
x
=
u
0
· t
=
u
0
x
·
t ·
cos
α
и получим:
s
x
=
u
0
x
·
t
=
u
0
· cos
α
·
2
0
υ
α
⋅
sin
g
или
s
g
=
⋅
υ
α
0
2
2
sin
(1.35)
Из этого выражения видно, что длина полета тела, брошенного
под углом к горизонту, зависит от угла броска. На рис. 1.12 приведена
зависимость длины полета и высоты подъема от угла броска. Из рисунка
видно, что с увеличением угла броска увеличивается высота подъема.
Длина полета тела вначале растет с ростом угла броска и достигает
максимального значения при 45
0
. Затем с дальнейшим увеличением угла
броска длина полета уменьшается.
Выведем уравнение траектории движения тела, брошенного под углом к
горизонту. Для этого в уравнение:
Рис. 1.12.
α = 70°
α = 60°
x
u
0
α = 45°
α = 20°
α = 30°
α
x
мax1
x
мax2
x
мax3
y
y
=
u
oy
t
–
gt
2
2
.
подставляем выражение для времени по лета
t
=
x
υ
α
0
cos
из уравнения (1.29) и получаем
уравнение траектории в следую щем виде:
y = x ·
tg
α
–
g x
⋅
⋅
2
0
2
2
2
υ
α
cos
.
(1.36)
21
Таким образом, тело, брошенное под углом к горизонту, движется
по параболе, проходящей через начало координат при
x
= 0,
y
= 0. В этом
уравнении коэффициент перед
x
2
отрицательный, значит, ветви параболы
направлены вниз.
В реальных условиях сопротивление воздуха сильно влияет на
дальность полета. К примеру, снаряд, пущенный со скоростью 100
км/ч, в вакууме пролетает расстояние в 1000 м, а в воздухе 700 м.
Из экспериментов следует, что при угле броска 30-40
0
тело пролетает
наибольшее расстояние.
Do'stlaringiz bilan baham: |
