Zahiriddin muhammad bobur nomidagi andijon davlat

II-Teoremaningisboti. vaqt momentini o‘niga qisqacha vaqtni yozishni kelishib olaylik. Uni fiksirlab qo‘yamiz. Teoremaning shartiga ko‘ra ikki hol bo‘lishi mumkin: 1) 2)
Eng avvalo 1) holni ko‘rib chiqaylik, y’ni bo‘lsin. 3-lemmaga ko‘ra [21], hal qiluvchi funksiya Borel ma’nosida o‘lchovli bo‘ladi, u holda barcha lar uchun quyidagi tegishlilik o‘rinli bo‘ladi

bu tegishlilik Borel ma’nosida o‘lchovli va shningdek ga bog‘liq, ga nisbatan uzluksiz. U holda Filippov lemmasiga asosan bu tegishlilikning shunday bir qiymatli Borel ma’nosida o‘lchovli selektori mavjudki, ya’ni bo‘lib, barcha lar uchun quyidagi tenglik o‘rinli bo‘ladi:

Bu lemmadan kelib chiqib, shunday bir qiymatli Borel ma’nosida o‘lchovli selektori mavjudki, ya’ni bo‘lib, barcha lar uchun quyidagi tenglik o‘rinli bo‘ladi:

Faraz qilaylik qochuvchi o‘yinchi (2.7) integral chegarali shartni qanoatlantiruvchi ihtiyoriy boshqaruvni qo‘llasin.Teoremaning shartiga ko‘ra, vaqt momenti mavjudki, natijada

bo‘ladi. U holda oyin davomida quvuchi uchun boshqaruv quyidagi ko‘rinishda quriladi:

Boshqaruvni bunday tanlovi bir o‘tishli ko‘ntrboshqaruv bo‘ladi.SHuni takidlash lozimki, bu usul bilan qurilgan boshqaruv ihtiyoriy boshqaruvda (ya’ni superpozitsiyasi ) o‘lchovli bo‘ladi.
Endi shu usul bilan qurilgan boshqaruv orqali chekli vaqt oralig‘ida o‘yinni tugallashi mumkinligini ko‘rsatamiz. U holda (2.2.4) Koshi formulasiga asosan ( ga proeksiyalangandan so‘ng) quyidagi ifodaga ega bo‘lamiz:






SHunday qilib, boshlang‘ich holatdan (2.2.1) o‘yinni vaqt momentidatugallash mumkin.
Endi icbotni to‘la qilish uchun qurilgan boshqaruvni joiz boshqaruv ekanligini ko‘rsatamiz, ya’ni (2.2.5) shartni qanoatlantirishini ko‘rsatamiz:

Huddi shuningdek bo‘lgan holni ham ko‘rsatish mumkin. Bu holda quvuchi vaqt oralig‘ida quyidagi boshqaruv bo‘yicha harakat qiladi

SHu qurilgan boshqaruv orqali chekli vaqt oralig‘ida o‘yinni tugallashi mumkinligini ko‘rsatamiz




Qurilgan boshqaruv joiz boshqaruv ekanligini ko‘rsatamiz:

II-teorema to‘la isbot bo‘ldi.
I – tеorеmaning isboti ham II - tеorеmaning isboti kabi, isbot qilinadi.
2.3. Quvish masalasiga doir misol