Zahiriddin muhammad bobur nomidagi andijon davlat universiteti mamadjanova ma

10-misol. Raqamlar orasiga arifmetik amallar belgisini shunday qo`yingki, natijada quyidagi tenglik o`rinli bo`lsin. Qavslardan ham foydalanish mumkin.
1 234=5
Yechish. Oxitgi raqam 4, yig`indi 5 ga teng ekanligidan berilgan tenglik o`rinli bo`lishi uchun, 1,2 va 3 raqamlaridan foydalanib tuzilgan sonli ifodaning qiymati 1 ga teng bo`lishi zarur ekanligi kelib chiqadi. Uni topish esa qiyinchilik tug`dirmaydi: (1+2):3=1
Demak, (1+2):3+4=5 bo`ladi.

MASHQLAR
Kichik maktab yoshidagi o`quvchilar uchun mo`ljallangan quyidagi mashqlarni yuqorida ko`rib o`tilgan usullarni qo`llab yeching

1. 
   * o`rniga shunday raqamlarni qo`yingki, natijada to`g`ri sonli tenglik hosil bo`lsin.
   

1)		13)
2)	54-	14)
3)	7	15)
4)		16)
5)		17)
6)		18)
7)		19)
8)		20)
9)		21)
		22)
		67

23)

2. 
   Ifodalar orasiga qavslarni qo`yib, to`g`ri sonli tenglik hosil
   

qiling
а)

2. 
   1
   

c)

d)

3. 
   Raqamlar orasiga arifmetik amallar belgisini qo`yib, to`g`ri sonli tenglik hosil qiling.Qavslardan ham foydalanish mumkin.
   

a)

b)

c)

4. 
   Raqamlar orasiga arifmetik amallar belgisini qo`yib, to`g`ri tenglik hosil qiling.
   

a)

b)

c)

5. 
   5 ta 2 raqami orasiga arifmetik amallar belgisini va qavslarni qo`yib, to`g`ri sonli tenglik hosil qiling.
   

5. 
   4 ta 7 raqami orasiga arifmetik amallar belgilarini va qavslarni qo`yib to`g`ri sonli tenglik hosil qiling.
   

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

68

61. 
    BOB. KOMBINATORIK MASALALARNI YECHISH USULLARI
    

1-§. KOMBINATORIK MASALA HAQIDA TUSHUNCHA. KOMBINATORIK MASALALARNING ASOSIY TURLARI
Ko`p hollarda amaliy faoliyatda bir necha turli yechimlar variantlariga ega bo`lgan masalalar uchraydi. Bu turdagi masalalarni yechishda tanlovni to`gri amalga oshirish uchun ularning birortasini ham tushurib qoldirmaslik muhimdir. Buning uchun esa barcha bo`lishi mumkin bo`lgan hollarni tanlashni amalga oshirish yoki ularning sonini aniqlash talab etiladi. Yechimni topishga bunday yondoshishni talab etadigan masalalar kombinatorik masalalar
deyiladi. Demak to`plamlar nazariyasi nuqtai-nazaridan kombinatorik masalalarni yechish bu biror top’lamdan berilgan aniq xossalarni qanoatlantiruvchi to`plam ostilarini tanlab olish va ularni tartiblash bilan bog`liq bo`ladi.
Kombinatorik masalalar berilgan shartlarni qanoatlantiruvchi kombinatorik birlashmalarning mavjud ekanligini aniqlashga doir; barcha mumkin bo`lgan birlashmalar sonini aniqlashga doir va berilgan tamoyillar bo`yicha eng maqbul bo`ladigan imkoniyatlarni aniqlashga doir bo`lishi mumkin.
Kombinatorik masalalarni yechish asosida: yig`indi va ko`paytma qoidalari yotadi.
Yig`indi qoidasi quyidagicha ta’riflanadi: agar a ob’ektni m usul bilan va b ob’ektni k usul bilan tanlash mumkin bo`lsa, u holda “ a yoki b” ob’ektni m+k usul bilan tanlash mumkin.
Ko`paytma qoidasi quyidagicha ta’riflanadi: agar a ob’ektni m usul bilan va b ob’ektni k usul bilan tanlash mumkin bo`lsa, u holda

(a,b) juftni usul bilan tanlash mumkin.

1-masala. Tarelkada 4 ta olma va 3 ta anor bor.1) Bitta mevani necha usul bilan tanlab olish mumkin? 2) Bir juft turli mevalarni necha usul bilan tanlab olish mumkin?

69

Yechish. 1) Masala shartiga ko`ra olmani to`rt usul bilan, anorni esa uch usul bilan tanlab olish mumkin. Shartga ko`ra bitta mevani, ya’ni bitta olmani yoki bitta anorni necha usul bilan tanlab olish mumkinligi so`ralayotganligi uchun, yig`indi qoidasiga asosan,

bu tanlashni 4 usul bilan amalga oshirish mumkin.

2. 
   Olmani to`rt usul bilan, anorni esa uch usul bilan tanlab olish mumkin. Shartga ko`ra bir juft, ya’ni bitta olma va bitta anorni
   

(olma, anor) necha usul bilan tanlab olish so`ralayotganligi uchun,

ko`paytma qoidasiga asosan uni 4 usul bilan amalga oshirish
mumkin.
Javob: a) 7 usul bilan; b) 12 usul bilan. Yuqorida bu ko`rib o`tilgan yig`indi va ko`paytma qoidalarini
ob’ektlar soni k ta bo`lgan hol uchun umumlashtirish mumkin. 2-masala. Agar sonning yozuvida raqamlar takrorlanmasa 7,3 va
6 raqamlaridan foydalanib nechta ikki xonali son tuzish mumkin? Yechish. Ikki xonali sonni yozish uchun o`nlar xonasidagi
raqamni va birlar xonasidagi raqamni tanlab olishimiz zarur. Masala shartiga ko`ra sonning yozuvidagi o`nlar xonasida 7,3 va 6 raqamlarining ixtiyoriy biri bo`lishi mumkin, ya’ni o`nlar xonasidagi raqamni uch usul bilan tanlash mumkin. O`nlar xonasidagi raqam aniqlangandan so`ng, sonning yozuvida raqamlar takrorlanmasligi shartidan birlar xonasidagi raqamni tanlash uchun ikkita imkoniyat qoladi. Ixtiyoriy ikki xonali son o`nlar va birlar xonasidagi raqamlardan tuzilgan tartiblangan juft bo`lgani uchun, ko`paytma
qoidasiga asosan ularni tanlashni usul bilan amalga oshirish mumkin.
Javob: 6 ta ikki xonali son tuzish mumkin: 73,76,36,37,67,63.
3-masala 7,3 va 6 raqamlaridan foydalanib nechta ikki xonali son tuzish mumkin?
Yechish.Bu xolda ham sonning yozuvidagi o`nlar xonasida 7,3 va 6 raqamlarining ihtiyoriy biri bo`lishi mumkin, ya’ni o`nlar xonasidagi raqamni uch usul bilan tanlash mumkin. O`nlar

70

xonasidagi raqam aniqlangandan so`ng, birlar xonasidagi raqamni ham uch usul bilan tanlash mumkin (chunki sonning yozuvida raqamlar takrorlanishi mumkin); ixtiyoriy ikki xonali sonning yozuvi ikkita raqamdan tuzilgan tartiblangan juft bo`lgani uchun, ko`paytma qoidasiga asosan ularni tanlashni 3*3=9 usul bilan amalga oshirish mumkin.

Javob: 9 ta ikki xonali son tuzish mumkin: 77, 73, 76, 37, 36, 33, 67, 66, 63 4-masala 7,3 va 6 raqamlaridan foydalanib nechta uch xonali son tuzish mumkin?
Yechish.Masala shartiga ko`ra uch xonali sonlar yozuvida raqamlar takrorlanishi mumkinligidan yuzlar, o`nlar va birlar xonasidagi raqamlarni har birini uch usul bilan tanlash mumkin bo`ladi. Ixtiyoriy uch xonali sonning yozuvi uchta raqamdan tuzilgan tartiblangan uchlikdan iborat bo`lgani uchun, ko`paytma qoidasiga asosan ularni tanlashni 3*3*3=27 usul bilan amalga oshirish mumkin.
Javob: 27 ta uch xonali son tuzish mumkin:
333,336,337,363,366,367,373,376,377,633,636,637,663,666,667,673
,676,677,
733,736,737,763,766,767,773,776,777.
5-masala. Agar sonning yozuvida raqamlar takrorlanmasa, 7, 3 va 6 raqamlaridan foydalanib nechta uch xonali son tuzish mumkin?
Yechish. Sonning yozuvida yuzlar xonasida 7, 3 va 6 raqamlarining ihtiyoriy biri bo`lishi mumkin ya’ni yuzlar xonasidagi raqamni uch usul bilan tanlash mumkin. Yuzlar xonasidagi raqam aniqlangandan so`ng shartga ko`ra raqamlar takrorlanmasligidan o`nlar xonasidagi raqamni tanlash uchun ikkita imkoniyat qoladi. O`nlar xonasidagi raqam ham aniqlangandan so`ng birlar xonasidagi raqamni faqat bitta usul bilan tanlash mumkin bo`ladi. Ihtiyoriy uch xonali sonning yozuvi uchta raqamdan tuzilgan tartiblangan uchlik
bo`lgani uchun ko`paytma qoidasiga asosan ularni tanlashni 3*2*1=6 usul bilan amalga oshirish mumkin.

71

Javob: 6 ta uch xonali son tuzish mumkin: 736, 763, 376, 367, 673, 637.

6-masala.0 va3 sonlaridan nechta uch xonali son tuzish mumkin?
Yechish. Ixtiyoriy uch xonali sonning yozuvi uchta raqamdan tuzilgan tartiblangan uchlikdan iborat bo`ladi. Bu uchlikning birinchi raqamini faqat bitta usul bilan tanlash mumkin, chunki sonning yozuvi 0 raqami bilan boshlanishi mumkin emas. O`nlar xonasidagi raqam yo 0, yoki 3 bo`lishi mumkin, ya’ni ikkita tanlab olish imkoniyati mavjud. Birlar xonasidagi raqamni tanlashni ham xuddi shuncha imkoniyati mavjud. Demak, yuzlar xonasidagi raqamni bir usulda, o`nlar xonasidagi raqamni ikki usulda, birlar xonasidagi raqamni ham ikki usulda tanlash mumkinligidan, ko`paytma qoidasiga asosan 1*2*2=4 sonni tuzish mumkin.
Javob: 4 ta uch xonali son tuzish mumkin:300,303, 330, 333
7-masala. 0,2,4 va 5 raqamlarining har biri sonning yozuvida faqat bir marta qo`llanilsa, nechta uch xonali son yozish mumkin?
Yechish. Sonning yozuvi 0 raqami bilan boshlanishi mumkin emasligidan yuzlar xonasining raqamini uch usul bilan tanlash mumkin. Yuzlar xonasidagi raqam aniqlangandan so`ng o`nlar xonasining raqamini uch usul bilan tanlash mumkin bo`ladi (
sonning yozuvida raqamlar takrorlanmasligi hamda berilgan 4 ta raqamlardan(0 dan tashqari) bittasi yuzlar xonasini yozuvida
qo`llanilganligi uchun); ikkita raqam aniqlanganidan so`ng birlar xonasining raqamini tanlash uchun ikkita imkoniyat qoladi. Ko`paytma qoidasiga asosan berilgan to`rtta raqamlardan tuzilgan uch xonali sonlarni 3*3*2=18 usul bilan yozish mumkinligi kelib chiqadi.
Javob: 18 ta uch xonali son yozish mumkin. 204, 205,240, 245, 250, 254, 402,405, 420, 425,450, 452, 502, 504, 520,524, 540, 542.
Yig`indi va ko`paytma qoidalari kombinatorik masalalarni yechishning umumiy qoidalaridir. Lekin kombinatorikada bir necha turdagi sodda, standart ko`rinishdagi masalalar mavjud bo`lib,
72

ularning shartida talab etilayotgan birlashmalar turiga qarab, guruhlashga doir, o`rin almashtirishlarga doir, o`rinlashtirishlarga doir masalalar ko`riladi.

Agar masala shartiga ko`ra tuzilgan birlashmada elementlar tarkibi muhim ro`l o`ynasa, guruhlashlar haqida so`z yuritiladi. O`rin

almashtirishlarda		birlashmaning tarkibiga kiruvchi elementlarning
tartibi muhim	ro`l o`ynaydi. Agar				elementlar		tarkibi		bilan bir
qatorda ularning		tartibi	ham	muhim		ro`l	o`ynasa		u holda
o`rinlashtirishlar		to`g`risida		so`z	yuritiladi.		Bundan		tashqari
elementlarni	tanlab		olish	sxemasiga		ko`ra:		elementlari

takrorlanmaydigan va elementlari takrorlanuvchi birlashmalar

farqlanadi.
Ko`p hollarda kombinatorik masalalarni yechishda
guruhlashlarga doir, o`rin almashtirishlarga doir, o`rinlashtirishlarga doir birlashmalar sonini topish formulalaridan foydalaniladi.
Bu formulalarni keltirib chiqarishda kortej tushunchasidan

foydalaniladi. Shuning uchun ushbu			tushuncha	mazmuni bilan
tanishamiz. Aytaylik		to`plamlar		berilgan	bo`lsin.
to`plamdan	birorta	element,	so`ngra	to`plamdan
element,…..,	to`plamdan	elementni tanlab olib, ularni			tartib
bilan joylashtiraylik (		. Biz		to`plamlardan
tanlab olingan,	tartiblangan n-likni (n ta elementdan iborat bo`lgan

birlashmani) hosil qilamiz. Tartiblangan n-lik so`zini o`rniga qisqacha qilib, “kortej” terminidan foydalaniladi. n sonini kortejning

uzunligi elementlar esa komponentlari deyiladi.
to`plamlar umumiy elementlarga ega bo`lishi yoki
ustma-ust tushishi ham mumkin. Masalan (m,a,t,e,m,a,t,i,k,a) bu
uzunligi 10 ga teng bo`lgan kortejdir.