Yaqinlashuvchi qatorning qoldig’i

Qator yaqinlashuvining zaruriy sharti
Qator yaqinlashuvining zaruriy sharti quyidagi soda teoremada isbotlangandir.
Teorema. yaqinlashuvchi
(1)
qator uchun

bo`ladi.
Isboti. (1) qatorning n-xususiy yig`indisini bilan belgilasak, teorema shartiga ko`ra
(2)
mavjud va cheklidir. ning aniqlanishiga ko`ra bo`lib, bunda esa
U holda (2) ga ko`ra

bo`lib, shuni isbotlash kerak edi.
Umumiy hadning limiti nolga teng bo`lgan qator albatta yaqinlashadi deb o`ylash to`g`r i emasligini tasdiqlovchi qatorlarga misopllar keltiraylik.
11-misol. 4-misolda qaralgan uzoqlashuvchi

qator yaqinlashuvining zaruriy sharti bajarilishini ko`rsataylik. Bu misolda

bo`lib, unga ko`ra tenglik shubhasizdir.
Isbotlangan teorema, bizni, berilgan qatorni tekshirishni qator yaqinlashuvining zaruriy shartini tekshirishdan boshlashga undaydi. Ya`ni umumiy hadining limiti nolga intilmaydigan har qanday qator uzoqlashuvchidir.
12-misol. Ushbu

qatorni tekshiring.
Yechilishi. Qator yaqinlashuvining zaruriy shartini tekshiraylik. Bizda bo`lib,

bo`lgani uchun qator yaqinlashuvining zaruriy sharti bajarilmayaptiki, natijada tekshirilayotgan qator uzoqlashadi.
Garmonik qator

Uzoqlashuvchi ammo qator yaqinlashuvining zaruriy shartini qanoatlantiruvchi ushbu

1+
qator garmonik qator nomi bilan mashhurdir. Bu qator uchun qator yaqinlashuvining zaruriy sharti bajarilishi shubhasizdir. Garmonik qatorning uzoqlashuvchiligini isbotlashning ko`plab usullari mavjud bo`lib, ularning deyarli hammasida garmonik qator xususiy yig`indilari ketma-ketligining limiti cheksizdan iboratligi ko`rsatiladi.
Teorema. Garmonik qatorning xususiy yig`indilari ketma-ketligi cheksizga intiladi, ya`ni
=+
Isboti. Ma`lumki, f(x)= funksiya har bir [k,k+1], (k kesmada Lagranj teoremasining shartlarini qanoatlantiradi. U holda
(k
bo`lib, bundan
(1)
Bu tengsizliklarning o`ng tomonida k=1,2,3, … ,n deb olishdan hosil bo`lgan



……………………

Tengsizliklarni hadlab qo`shsak,
1+
bo`ladi. Tengsizliklarning chap tomoni da + ga intilgani uchun o`ng tomoni ham + ga intiladi. Teorema isbotlandi.
Aslida esa (1) tengsizliklardan isbotlangan teoremaga qaraganda ko`proq narsani olish mumkin ekan.