Yaqinlashuvchi qatorning qoldig’i

17-misol. Ushbu

qatorning yaqinlashishini taqqoslash teoremasi yordamida ko`rsating.
Yechilishi. Barcha n larda sinn<1 ekanidan bo`lib, o`z navbatida binom formulasidan foydalanib yoki matematik induksiya metodi bilan isbotlash mumkin bo`lgan tengsizlikka ko`ra, barcha n=1,2,… larda

bo`ladi. Ma`lumki

qator yaqinlashadi. Uholda musbat qatorlarni taqqoslash haqidagi 1-teoremaga asosan tekshirilayotgan qator ham yaqinlashuvchidir.
Isbotlangan teoremalardan unumli foydalanish uchun biz qator yaqinlashuvchi va uzoqlashuvchi qatorlarni bilishimiz zarur bo`ladi.
Musbat qatorlarni taqqoslash haqidagi teoremalarning tadbiqlari.
Hozirgacha biz o`rgangan qatorlar ichida eng muhimi geometrik qatordan iborat bo`lib,

qator <1 bo’lganida yaqinlashuvchi va qolgan barcha xollarda uzoqlashuvchidir . Shunga ko’ra musbat qatorlarni taqqoslash haqidagi 1-teoremada = deb olaylik .

Teorema . Agarda n ning qandaydir qiymatida boshlab va 0
qator yaqinlashadi .
Teoremaning isboti musbat qatorlarni taqqoslash xaqidagi birinchi teoremadan 0
geometrik qatorning yaqinlashishidan kelib chiqadi .
K=1 bo’lganida teorema shartini ko’rinishida yozish mumkin bo’lib natijada musbat qatorlar yaqinlashuvini Koshi belgisiga kelamiz
Teorema ( Koshi belgisi) . Musbat xadli

qator:

1. 
   n ning qandaydir qiymatidan boshlab
   

, 0bo’lganida yaqinlashadi .

2. 
   n ning cheksiz ko’p qiymatlarida
   

bo’lganda uzuqlashadi .
Teoremaning birinchi qismi yuqorida isbotlangan bo’lib ikkinchi ismi esa

bo’lganida bo’lib , natijada qator yaqinlashuvining zaruriy sharti
bajarilmasligi kelib chiqadi .
Amalda teoremaning bu ko’rinishidan foydalanish qiyinroq bo’lgani sababli ( chunki ifodani yuqoridagi yoki quydagi baxolash qiyin bo’lishi mumkin) teoremaning shartlarini limit xolda ifodalovchi teorema ko’p foydalaniladi .
Teorema( Koshi belgisi). Musbat xadli
qator:

1. 
   < 1
   

bo’lganda yaqinlashuvchi;

2. 
   > 1
   

bo’lganida yaqinlashuvchi. Ko’rinib turibdiki , Koshi belgisi =1 bo’lganida
lashuvchzaruriy sharti qator uchun umumiy xulos chiqorolmaydi. Biz misollar orqali =1 bo’ladigon ayrim yaqinlashuvchi qatorlarning shuningdek ayrim uzoqlashuvchi qatorlarni ko’ramiz .
lashuvchzaruriy sharti qator uchun umumiy xulos chiqorolmaydi. Biz misollar orqali =1 bo’ladigon ayrim yaqinlashuvchi qatorlarning shuningdek ayrim uzoqlashuvchi qatorlarni ko’ramiz .
Isbot. Dastlab =K belgilashni kiritaylikda a) xolda ni K+ <1 shart bo’yicha olaylik. U xolda limitning ta’rifiga ko’ra n ning qandaydir qiymatidan boshlab
0 < < K+ <1
Tengsizliklar bajariladi . Agarda q= K+ deb olsak natijada biz oldingi teoremaning a) qismi shartlari bajarilishini ko’ramizki , natijada isbotlanayotgan a) xolning to’g’riligiga kelamiz .
Endi > 1 bo’lgan xolni ko’raylik
Bu xolda limitning ta’rifiga ko’ra n ning qandaydir qiymatidan boshlab > 1 yoki > 1 tengsizlik bajarilib yana qator yaqinlashuvining zaruriy sharti bajarilmaydi . Shu bilan b) xol ham to’la isbotlanadi
18-misol. Ushbu


qatorni tekshiring.
Yechilishi. Bu qatorda = bo’lganida
=
= = < 1
Demak , tekshirilyotgan qator Koshi belgisi ko’ra yaqinlashadi .Isbot. Dastlab =K belgilashni kiritaylikda a) xolda ni K+ <1 shart bo’yicha olaylik. U xolda limitning ta’rifiga ko’ra n ning qandaydir qiymatidan boshlab
0 < < K+ <1
Tengsizliklar bajariladi . Agarda q= K+ deb olsak natijada biz oldingi teoremaning a) qismi shartlari bajarilishini ko’ramizki , natijada isbotlanayotgan a) xolning to’g’riligiga kelamiz .
Endi > 1 bo’lgan xolni ko’raylik
Bu xolda limitning ta’rifiga ko’ra n ning qandaydir qiymatidan boshlab > 1 yoki > 1 tengsizlik bajarilib yana qator yaqinlashuvining zaruriy sharti bajarilmaydi . Shu bilan b) xol ham to’la isbotlanadi
18-misol. Ushbu


qatorni tekshiring.
Yechilishi. Bu qatorda = bo’lganida
=
= = < 1
Demak , tekshirilyotgan qator Koshi belgisi ko’ra yaqinlashadi . Ma’lumki , garmonik qator uzoqlashuvchi , ammo Koshi belgisi aytilgan limit birga teng .
3- misolda tekshirilgan


qator yaqinlashuvchi , ammo
ya’ni Koshi belgisi bilan aytilgan limit bu xolda ham birga teng.
Taqqoslash xaqidagi teoremalardan shu narsani ko’ramizki berilgan qatorni tekshirish uchun biz bir qator yaqinlashuvchi va uzoqlashuvchi noqulay tomnidir . Shu sababli qatorni tekshirshni Shu qatorning xadlari orqali amalga oshirish axamiyatli bo’lib qator yaqinlashuvining Koshi belgisi ayni muddaodir . Bu yo’nalishdagi yana bir belgi dalamber belgisi nomi bilan mashxur bo’lib u qatorning yonma- yon turgan xadlarining nisbat bilan aniqlanadi .
Teorema ( Dalamber belgisi). Musbat hadli

qator:

1. 
   n ning qandaydir qiymatida boshlab
   

, 0< r < 1
bo’lganida yaqinlashadi;

2. 
   n ning qandaydir qiymatidan boshlab
   

, r > 1

bo’lganida yaqinlashadi .

Isboti. Dastlabki cheklita hadlarini o’zgartirish qator yaqinlashishini buzmagani uchun a) xolni isbotlashda u yerda aytilyotgan tengsizliklar n=1 dan boshlab o’rinli bo’lsin deb qarayli . Natijada
=

Ya’ni , barcha n larda bo’lib ,

0

geometrik qator yaqinlashuvchiigiga ko’ra taqqoslash xaqidagi 1- teoremani qatorning yaqinlashini ko’rsatadi.

b xolning to’g’tiligi uni shartlarida qator yaqinlashuvining zaruriy sharti buzilishidan kelib chiqadi .
Bu teoremada foydalanish uchun nisbatni quydagi va yuqoridagi baxolash zarur bo’lib , u ko’pgina murakkab almashtirishlarsiz bo’lmasligi mumkin. Shu sababli bu teoremaning ham quyidagi amalda foydalanishga soda ko’rinishi muhimdir.

Teorema ( Dalamber belgisi). Musbat hadli

qator:

1. 
   <1
   

bo’lganida yaqinlashuvchi
b) >1
bo’lganida esa uzoqlashuvchi.
Koshi belgisi singari bu belgi ham =1 bo’lganida qator uchun umumiy xulosa chiqarolmaydi. Boshqacha aytganimizda
=1
bo’ladigon yaqinlashuvchi qatorlar ham uzoqlashuvchi qator ham mavjud.
Isbot. Ushbu

=D
belgilashni kiritaylik. a) D<1 bo’lgani uchun 0 ni D+ <1
shart bilan tanlaylik. U xolda olingan 0 uchun n ning qandaydir qiymatidan boshlab
0< < D+

tengsizliklar bajariladi. Biz bu tengsizliklar barcha n larda bajariladi deb qarashimiz mumkin. U xolda r=D+ tenglik bilan oldingi teoremaning a) qismining shartlarini bajarinishini ko’ramizki, natijada isbotlanayotgan a) xolning to’g’riligiga kelamiz.

2. 
   Xolning to’g’riligi uning shartlarida qator yaqinlashuvchining
   

Zaruriy shartining bajarilmasligiga kelib chiqadi .
19-misol . Ushbu

qatorning tekshiring.
Yechilishi. Bu qatorda = bo’lgani uchun
= = = < 1
ya’ni tekshirilayotgan qator Dalamber belgisiga ko’ra yaqinlashadi.
20-misol. Bizga ma’lumki qator s>1 da yaqinlashib s da esa uzoqlashadi. Ammo
= =1
Bo’lgani uchun bu qatorga Dalamber belgisini qo’llab bo’lmaydi.
21-misol. Ushbu
3+ + + + +
qator yaqinlashuvchi va yig’indisi 7 ekaniga qatorning’ xususiy yig’indilari ketma-ketligi ikkita qismiy ketma-ketliklariga ajratib o’rganish bilan ishonch xosil qilish mumkin. Ammo
= , =3, = , =3,
bo’lgani uchun mavjud emas. Demak bu qatorga xam Dalamber belgisini qo’llab bo’lmaydi.

Koshi va Dalamber belgilarini taqqoslash.

Bizga musbat hadli
= + + +
Qator berilgan bo’lsin. Bu qatorni tekshirishning Koshi belgisida

limitni, Dalamber belgisida esa


Limitni birdan kichikligi qatorning yaqinlashishini ko’rsatib, birdan kattaligini esa bu qatorning uzoqlashuvchiligini ko’rsatar edi. Natijada berilgan qatorni tekshirishda bu belgilarningqaysi biridan foydalanish qulayroq degan savolning qoyilishi tabiydir. Avvalo shuni aytish kerakki bo’yicha ko’p xollarda nisbat ga qaraganda soddaroq bo’ladiki, bu o’z navbatida Dalamber belgisi bilan ishlash qulayligini ko’rsatadi. Ammo, ko’rib o’tganimizdek 21-misolda berilgan qatorni
Dalamber belgisi bilan tekshirish mumkin emas , biroq uni Koshi belgisi yordamida yaqinlashuvchiligini ko’rsatish mumkin. Xaqiqatdan
3+ + + + +
qator uchun { } ketma-ketikni va { } ketma-ketliklarga ajratsak ular mos ravishda