Xosmas integrallar

Teorema: Agar funksiya lemma shartlarini qanoatlantirsa, u holda (1), (2),(3) masalaning yechimi mavjud.

Isbot. funksiyani yopiq sohada uzluksiz ekanligini isbotlaymiz:

bo’lganligi uchun (9) dan ushbuni hosil qilamiz:

.

Oxirgi integral sohada lemmaga asosan absalyut va tekis yaqinlashadi. funksiya sohada uzluksiz va chegaralangan bo’ladi. (9) teglikning har ikkala tomonidan t bo’yicha hosila olamiz:

(15)

(14) dan ,

bundan const sonlarga bog’liq. U vaqtda (15) dan

hosil bo’lib, funksiyaning qiymatlarida uzluksiz va chegaralangan bo’lishi kelib chiqadi. funksiyaning qiymatlarda uzluksiz va chegaralangan bo’lishi (1) teglamadan kelib chiqadi. Bessel funksiyasi uchun asimptotik formulalarga asoslanib, da uchun esa baholarni o’rinli ekanligi ko’rsatiladi, bunda lar qandaydir o’zgarmas sonlar. Teorema isbotlandi.

Bir jinsli boshlang’ich va chegaraviy shartlarda bir jinsli bo’lmagan.

(16)

tenglamani qaraymiz.

Isbotlangan lemmaga o’xshash quyidagi lemma isbotlandi.

2-Lemma. Agar funksiya ga nisbatan tekis 1- Lemma shartlarni qanoatlantirsa, u xolda ushbu xosmas integral

,

bunda

sohada absalyut va tekis yaqinlashadi va demak quyidagi

(17)

tenglik o’rinlidir. (16) tenglamani yechimini

(18)

ko’rinishda izlaymiz, bunda noma’lum funksiya. (17) va (18) larni (16)ga qo’yib ni topish uchun shartni qanoatlantiruvchi

tenglama hosil qilinadi. Bu masalaning yechimi

bo’ladi. Ko’rish osonki, (16) tenglamaning bir jinsli boshlang’ich va chegaraviy shartlardagi yechimi

(19)

bo’ladi.