Xosmas integrallar

I-BOB XOSMAS INTEGRALLAR

Aniq integralning ta’rifida integralning chegaralari chekli, integral ostidagi funksiya esa [a,b] kesmada chegaralangan bo’lishi talab etiladi. Agar bu shartlardan birontasi bajarilmasa ta’rif ma’nosini yo’qotadi. Bunday hollarda aniq integral ta’rifini umumlashtirish mumkin, natijada xosmas integrallar tushunchasiga kelamiz.

1.1-§. Birinchi jins xosmas integrallar.

Ta’rif:

Aytaylik f(x) funksiya [a,∞) oraliqda berilgan bo’lib, integral mavjud bo’sin, bunda A>0. U vaqtda, agar ushbu chekli limit mavjud bo’lsa, ya’ni , (1)

bunda J-chekli son, u holda buni birinchi jins xosmas integral yoki f(x) funksiyaning [a,∞) oraliqda xosmas integrali deyiladi va

(2)

simvol bilan belgilanadi. Bu holda (2) xosmas integral mavjud yoki yaqinlashadi deyiladi. Agar (1) limit mavjud bo’lmasa yoki limit cheksizga teng bo’lsa, u holda (2) xosmas integral uzoqlashuvchi yoki mavjud emas deb ataladi. Xuddi shuningdek quyidagi integrallar qaraladi:

(3)

(4)

bularda a- ixtiyoriy son.

Xosmas integral aniq integralning limiti sifatida aniqlanganligi uchun aniq integralning ko’p xossalari xosmas integral uchun ham bajariladi. O’rta qiymat haqidagi teorema o’z kuchini yo’qotadi. Birinchi jins xosmas integralni hisoblash ta’rifga asosan amalga oshiriladi. Haqiqatan ham, agar F(x)-funksiya f(x) funksiya uchun boshlang’ich funksiya bo’lsa, u holda ,

bunda

.

Shunday qilib, (2) xosmas integralni hisoblash uchun ushbu umumlashgan Nyuton-Leybnits formulasini hosil qilamiz:

(5).

Xuddi shuningdek,

,

bunda .