Xosmas integrallar

2.2-§ Gamma funksiya va uning xossalari

Biz

(6)

xosmas integralni qaradik. Bu chegaralanmagan funksiyaning (a<1 da x=0 maxsus nuqta) cheksiz oraliq bo’yicha olingan xosmas integrali bo’lishi bilan birga a ga (parametrga) ham bog’liqdur. O’sha yerda (6) xosmas integralning a>0 da, yaqinlashuvchi, da, ya’ni da uzoqlashuvchi bo’lishi ko’rsatildi.

2-ta’rif: (6) integral gamma funksiya yoki ikkinchi tur Eyler integrali deb ataladi va Г(a) kabi belgilanadi. Demak,

.

Shunday qilib, Г(a) funksiya da berilgandir. Endi Г(a) funksiyaning xossalarini o’rganaylik. 1-xossa. (6) integral

ixtiyoriy oraliqda tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.

Isbot: (6) integralni quyidagi 2-qismga ajratib,

ularning har birini alohida-alohida tekis yaqinlashuvchilikka tekshiramiz. Agar sonni olib, parametr a ning qiymatlari qaralsa, unda barcha uchun

bo’lib, ushbu Veyrshtrass alomatiga ko’ra

integral tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. Agar sonni olib, parametr a ning qiymatlari qaraladigan bo’lsa, unda barcha uchun

bo’lib,

integralning yaqinlashuvchiligidan, yana Veyrshtrass alomatiga ko’ra

integralning tekis yaqinlashuvchi bo’lishini topamiz. Shunday qilib,

integral da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.