X. Norjigitov “Variatsion hisob va optimallashtirish usullari”

2. Lejandrning etarli sharti.
funktsiya uzluksiz xususiy hosilaga ega va ekstremal, ekstremallar maydonida bo’lsin. Agar ekstremalda bo’lsa, egri chiziqda kuchsiz minimum mavjud va bo’lganda egri chiziqda (3.3) funktsional kuchsiz maksimumga erishadi. Bu shartga Lejandrning kuchaytirilgan sharti deyiladi.
Agar ekstremalga yaqin nuqtalarda tengsizlik ning ixtiyoriy qiymatida bajarilsa, (3.3) funktsional ekstremalda kuchli minimumga bo’lganda esa kuchli maksimumga ega bo’ladi.
Misol

funktsionalni ekstremumga tekshiring.
Echish. Ekstremallari to’g’ri chiziqlardan iborat. Chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi ekstremal , bu ekstremallari kiradi. tengsizlik ixtiyoriy uchun bajariladi. Demak, ekstremalda funktsional kuchli minimumga erishadi.
3. Figuratrisa. funktsional berilgan. va ni parametrlar deb olib, funktsiya argementli deb olamiz. Bu funktsiyaning tekislikdagi grafigiga figuratrisa deyiladi. Veyershtrass funktsiyasi figuratrisa ordinatasi va abtsissasi bo’lgan nuqtada figuratrisaga o’tkazilgan urinma ordinatasi ayirmasidan iborat. Veyershtrass funktsiyasining ishorasini o’zgarmasligi (biror uchun), figuratrisa urinmadan yuqorida yoki pastda yotishini bildiradi. Agar figuratrisa ning barcha qiymatlari va va parametrlarning ekstremal nuqtalariga yaqin qiymatlarida urinmadan bir tomonda yotsa, u holda ekstremalda kuchli ekstremum mavjud bo’ladi.
Lejandrning etarli sharti bu holda quyidagicha bo’ladi: ekstremalga yaqin nuqtalarda figuratrisa qavariq yoki botiq bo’lsa, kuchli ekstremum mavjud bo’ladi.
Misol funktsionalning ekstremumini toping.
Echish. Ekstremallar . Izlanayotgan ekstremal chegaraviy shart asosida topiladi: . Bu ekstremal markaziy ekstremallar ga tegishli . Figuratrisa paraboladan iborat. Figuratrisa abtsissasi nuqtada o’tkazilgan urinmadan bqorida joylashgan. Shu sababli funktsional kuchli minimumga ega.