X. Norjigitov “Variatsion hisob va optimallashtirish usullari”

Asosiy savollar:

1. Pontryaginning maksimum printsipi.

2. Dinamik programmalash.


Mavzuga oid tayanch tushunchalar va iboralar:
Sistema, differentsial tenglama, boshqaruv, boshqaruv parametri, boshqaruv sohasi, fazoli koordinatalar, funktsional, optimal traektoriya, maksimum, vektor, faydo funktsiyasi.


Mavzuga oid muammolar:
1. Maksimum printsipining qo’yilishi.
2. Maksimum printsipining o’rni.

3. 
   Dinamik programmalash tushunchasi.
   

1-savol bo’yicha dars maqsadi:
1. Optimal printsip masalasini qo’ying.
2. Pontryaginning maksimum printsipini aniqlash.


Identiv o’quv maqsadlari:
1. Optimal printsip masalasini biladi.
2. Pontryaginning maksimum printsipini tushuntiradi.


1-savol bayoni:
Birorta ob’ekt harakatda bo’lsin. Uning vaqtga nisbatan holati
(7.1)
differentsial tenglamalar sistemasi orqali ifodalanadi. Bunda ob’ektning momentdagi fazoviy holati bo’lib, ob’ektning koordinatalari, tezligi va hokazolar bo’lishi mumkin.
Ob’ektning harakatini boshqarish mumkin.
Boshqaruv momentdagi boshqaruv sohasining nuqtasi orqali bajariladi. sifatida dvigatelga berilgan yoqilgi miqdori, temperatura va hokazolar olinadi.
funktsiyalar uzluksiz va fazo koordinatalari bo’yicha uzluksiz differentsiallanuvchi deb olinadi.
boshqaruv parametrlari sohada birinchi tur uzilishiga ega, ya’ni sakrashga ega deb olinadi.
(7.1) differentsial tenglamalar sistemasi bilan bir qatorda quyidagi integral funktsional ham qaraladi:
(7.2)
bunda hamma argumentlar bo’yicha uzluksiz differentsiallanuvchi deb olamiz. vektorlar orqali ifodalangan fazoda va nuqtalar berilgan bo’lsin. sohada berilgan boshqaruvga mos keladi. esa bu echimning nuqtadan o’tishigacha sarflangan vaqt. Shunday qilib, va lar berilmasidan shartlardan topiladi.
Yuqoridagi masalani hal qiluvchi boshqaruvga optimal boshqaruv deyiladi, unga mos keluvchi traektoriyaga esa optimal traektoriya deyiladi.
Xususiy hol optimal tezkorlik moslamasiga keladi.
Agar funktsiya

differentsial tenglamaning echimi deb olinsa, u holda hosil bo’ladigan differentsial tenglamalar sistemasi
(7.3)
va funktsional
(7.4)
yuqoridagi masalani, (7.3) sistemaning shartlar bajarilganda ga eng kichik qiymat beradigan ni topish masalaga keltiriladi. Yuqoridan masala shart bajarilganda optimal boshqaruv masalasi bo’lganda esa variatsion hisob masalasidir.
Pontryaginning maksimum printsipi. Agar shartni qanoatlantiruvchi fazo traektoriyasi va mumkin bo’lgan boshqaruv bo’lsa,
(7.5)
differentsial tenglamalar sistemasi yagona echimga ega, har qanday ga qo’yilgan boshlang’ich shartda ham.
(7.5) sistemaning echimlari yordamida
(7.6)
funktsiyani tuzamiz. traektoriyasiga mos keluvchi boshqaruv optimal bo’lishligi uchun oraliqdagi uchun va mos keluvchi noldan farqli uzluksiz vektor-funktsiya mavjud bo’lib, (7.6) funktsiya da maksimum qiymat qabul qilishi zarurdir. Oxirgi momentda
(7.7)
Agar , , funktsiyalar (7.1) va (7.5) sistemalarni qanoatlantirsa

funktsiyalar har qanday da o’zgarmas bo’ladi. (7.7)da o’rniga ixtiyoriy ni qo’yish mumkin.
Optimal tezkorlik masalasida vektor funktsiya mavjud bo’lib, uchun

funktsiya, nuqtada maksimumga ega bo’ladi. Oxirgi momentda
(7.8)
Agar funktsiyalar

sistemani va maksimum shartini qanoatlantirsa funktsiya ning har qanday qiymatida o’zgarmas, (7.8) tengsizlik ixtiyoriy uchun bajariladi.