X. Norjigitov “Variatsion hisob va optimallashtirish usullari”

Pontryaginning maksimum printsipi.

Oldingidek ob’ektning harakati (6.2) sistema bilan berilgan deb olamiz. Maksimum printsipi uchun parametrlardan tashqari yordamchi o’zgaruvchilar kiritiladi. Bu o’zgaruvchilar va (6.2) ning o’ng tomonlari yordamida quyidagi funktsiya tuziladi.

(6.8)
Yordamchi funktsiyalar uchun quyidagi differentsial tenglamalar sistemasi tuziladi:
(6.9)
Shunday qilib, oraliqdagi ixtiyoriy uchun differentsiallarga ega bo’lamiz. Bularni (6.5)ga qo’yib, har bir momentda bitta bitta o’zgaruvchi ga bog’liq bo’lgan



funktsiyaga ega bo’lamiz.

ni topamiz, . Nomanfiylik shartini (6.10) yozamiz:
(6.11)
Maksimum printsipi. funktsiyalar (6.2) sistemani qanoatlantirsin. boshqaruv optimal bo’lishligi uchun ( dan ga ob’ektni qisqa vaqtda etkazish uchun) kesmada bir vaqtda nolga teng bo’lmagan va funktsiyalarning mavjudligi zarur, har qanday uchun funktsiyalar (6.9) sistemani, (6.10) maksimum shartini va (6.11) nomanfiylik shartini qanoatlantiradi.
Maksimum printsipining qulayliklari:
1. (6.9) sistema oddiy differentsial tenglamalar sistemasi bo’lib, uni echish xususiy hosilali tenglamalar sistemasidan oson bajariladi.
2. Maksimum printsipida boshlang’ich nuqta berilgan bo’lib, berilmagan, ularni kompyuter yordamida hisoblab, optimalini topish mumkin.
3. Maksimum printsip yordamida faqat optimal traektoriyani emas balki, optimal traektoriyalar bog’lamini ham topishimiz mumkin.
Misol. Yuqorida kiritilgan moddiy nuqta masalasini qaraymiz. Muvozanatlik va ishqalash kuchlari yo’q deb olamiz. Dvigatelning maksimum kuchi , massa deb olamiz. (6.1) va (6.3)ga ko’ra jismning harakat tenglamasi
(6.12)
ko’rinishda bo’ladi. Ob’ekt qisqa vaqtda nuqtadan koordinat boshi nuqtaga ko’chishini qaraymiz. Mexanika nuqtai nazardan ob’ektning boshlang’ich holati va boshlang’ich tezligi berilganda qisqa vaqt ichida uning tezligini nolga aylantirish (to’xtatishni) talab qilinadi. (6.8)dagi funktsiya quyidagi ko’rinishni oladi.
(6.13)
chunki . Yordamchi funktsiyalar uchun sistema hosil bo’ladi. Bunda -o’zgarmaslar (6.10) munosabatdan. (6.12), (6.13)ga ko’ra , agar bo’lsa, , agar bo’lsa, chiziqli funktsiya faqat bir marta ishorasini almashtirgani uchun optimal boshqaruv kesmada bo’lakli-o’zgarmas bo’lib. Faqat ikkita o’zgarmas oraliqqa ega va faqat chegara qiymatlarni qabul qiladi. Undan tashqari optimal boshqaruv birinchi tur uzilishga ega, ya’ni «rul” inertsiyasiz bo’ladi.
Masalaga qaytamiz. bo’lsin (6.12)ning birinchisini ikkinchisiga bo’lamiz.
bundan (6.14)

Demak, bo’lganda ob’ektning harakat traektoriyasi paraboladan iborat