Учебное пособие "Методика преподавания математики"

5. Методика изучения обыкновенных и десятичных дробей
Первое знакомство с обыкновенными дробями происходит в III классе параллельно изучению натуральных чисел. Систематическое изучение дробей начинается в V классе. Десятичные дроби не являются новыми числами по сравнению с обыкновенными дробями. Они представляют лишь другую запись ранее известных обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, 1000 и т. д. В математических вычислениях и практических расчетах более удобными являются десятичные дроби. Обыкновенные дроби в вычислениях используются гораздо реже. Современный пример применения десятичных дробей в вычислениях дают ЭВМ, которые оперируют именно с такими дробями. В связи с этим в методике математики существует проблема порядка изучения обыкновенных и десятичных дробей. Рассмотрим возможные подходы к решению этой проблемы: 1) вначале изучаются обыкновенные дроби, затем - десятичные (традиционный подход); 2) вначале изучаются десятичные дроби, затем - обыкновенные; 3) смешанный вариант, при котором изучение обыкновенных и десятичных дробей чередуется. В действующем учебнике V класса придерживаются смешанного варианта. Вначале в нем вводится понятие обыкновенной дроби. Затем рассматриваются вопросы сравнения, сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. После этого осуществляется переход к десятичным дробям и рассматриваются все четыре арифметических действия над ними. Изучение десятичных дробей начинается и заканчивается в V классе. После этого в VI классе вновь возвращаются к обыкновенным дробям: изучают сравнение произвольных дробей, арифметические действия над ними. Понятие процента примыкает к понятию десятичной дроби. Проценты - это новая форма записи десятичных дробей со знаменателем 100.
Центральным в теме "Дробные числа" (V класс) является понятие обыкновенной дроби. Оно вводится таким описанием (аналогично тому, как это делалось в III классе): приводится рисунок с изображением пирога, разрезанного на четыре равные части. Одна из них лежит на одной тарелке, а три части - на другой. Говорят: "На первой тарелке лежит одна четвертая часть пирога, а на второй - три четвертых части пирога". Пишут:
"1/4 пирога, 3/4 пирога". Далее сообщают, что такие числа, как 1/4 и 3/4, называют обыкновенными дробями. В дроби 3/4 число 3 называют числителем дроби, а число 4 - ее знаменателем. Характеристика дроби начинается со знаменателя: знаменатель показывает, на сколько равных частей разрезан пирог, а числитель - сколько надо взять таких частей. Числитель пишут над чертой, а знаменатель - под чертой. Проведенные разъяснения повторяются на других примерах. Вместо пирога может быть взят круг (отрезок, прямоугольник, квадрат), разделенный на шесть (восемь, семь, восемнадцать) равных частей.
В соответствии с изложенным можно предложить следующую методическую схему введения понятия обыкновенной дроби в V классе: 1) выполнить материализованные действия по делению предмета на 4 равные части; 2) сообщить термины "одна четвертая", "три четвертых"; 3) ввести записи: 1/4, 3/4; 4) сообщить термины "обыкновенная дробь", "числитель дроби", "знаменатель дроби"; 5) дать содержательную характеристику дроби (что показывает знаменатель дроби, что показывает ее числитель); 6) привести другие примеры дробей, записать и прочитать их.
Задание. К практическому занятию приготовьте модель, которой можно воспользоваться при введении понятия обыкновенной дроби. Разработайте беседу с учащимися по введению данного понятия.
Важным элементом методики изучения чисел является убеждение учащихся в целесообразности введения новых чисел. Возможность записать доли с помощью обыкновенных дробей является одним из приемов убеждения учащихся в полезности таких дробей. Помимо этого существуют еще два других приема, показывающих необходимость введения дробных чисел. Мотивировать введение дробных чисел можно также тем, что с их помощью операция деления натуральных чисел делается всегда выполнимой. Как известно, в множестве натуральных чисел число 2 не делится на число 3. Дополним это множество дробями и вновь рассмотрим деление числа 2 на 3. Пусть требуется 2 яблока разделить между 3 учениками. Как это сделать? (Объясните).
Третий прием мотивации введения дробных чисел связывается с задачей измерения величин. Пусть, например, требуется измерить длину отрезка в сантиметрах (выбирается отрезок, длина которого меньше 1 см). При измерении учащимися отрезка обнаруживается, что его длина меньше 1 см. Для измерения такого отрезка удобно привлечь доли 1 см - миллиметры, при этом учитывая, что 1 мм = 1/10 см. Пусть длина отрезка оказалась равной 9 мм. Это означает, что отрезок содержит 9/10 см. Как видно, длина данного отрезка выражается в сантиметрах дробным числом. Без дробных чисел измерение его в сантиметрах невозможно.
Тенденция на усиление роли теоретических объяснений имеет место и при изучении темы "Дробные числа". По аналогии с натуральными числами дайте объяснение правил сложения и вычитания десятичных дробей. (приведите примеры).