Учебное пособие "Методика преподавания математики"

Раздел II. Частная методика обучения математике

2.1. Методика изучения числовых систем

План
1. Характеристика числовых множеств.

2. Научные основы теории числовых систем, изучаемой в школьном курсе математики.
3. Различные подходы к введению числовых множеств.
4. Методика изучения натуральных чисел.
5. Методика изучения обыкновенных и десятичных дробей.
6. Методика изучения отрицательных чисел.
7. Методика введения иррациональных чисел.


1. Характеристика числовых множеств
Учащиеся средней школы должны уметь охарактеризовать известные им числовые множества примерно так:
1) множество N натуральных чисел - бесконечное, упорядоченное, дискретное, с начальным элементом и без конечного элемента, замкнутое относительно сложения и умножения и незамкнутое относительно вычитания и деления;
2) множество Z целых чисел - бесконечное, упорядоченное, дискретное, без начального и конечного элементов, замкнутое относительно сложения, умножения и вычитания, незамкнутое относительно деления;
3) множество Q рациональных чисел - бесконечное, упорядоченное, без начального и конечного элементов, замкнутое относительно сложения, умножения, вычитания и деления (за исключением деления на 0);
4) множество R вещественных чисел - бесконечное, упорядоченное, без начального и конечного элементов, всюду плотное, полное, замкнутое относительно сложения, умножения, вычитания и деления, а также относительно операции определения предела  сходящейся последовательности вещественных чисел (непрерывное).


2. Научные основы теории числовых систем, изучаемой в школьном курсе математики.
Множество натуральных чисел изучается с начальной школы.
Без понимания структуры множества N нельзя достичь понимания структуры множеств Z, Q, R. Свойства структуры порядка [N,<] и алгебраической структуры [N,+, ] должны быть предметом изучения в связи с развитием понятия числа в школьном курсе.
Уже в начальных классах учащиеся понимают, что отношение "меньше" устанавливает определенный порядок в множестве N. Это объясняется с помощью упражнения: "b следует за a или a предшествует b, если a< b" .
Далее на базе отношения "меньше" можно разъяснить более сложные отношения: "лежит между" и "непосредственно следует за" - это определяет свойство дискретности (то есть между ними нет ничего).
Учащиеся старших классов уже знакомятся с системой аксиом, характеризующей структуру [N,<]:
A1: x=(1=x) (существование начального элемента 1);
A2: xy(y=x) (существует следующее);
A3: x,y(x=yx=y);
А4: x,y(x=yx=y);
A5: P(1) и x(P(x)=P(x))  yP(y) (аксиома полной или математической индукции).
(Если 1 обладает некоторым свойством P и если для всякого натурального числа из того, что оно обладает свойством P, вытекает, что и непосредственно следующее за ним число обладает этим свойством, то всякое натуральное число обладает свойством P).
Понимание аксиом не вызывает затруднений. Необходимо разъяснить учащимся точный смысл следующих свойств алгебраической структуры [N,+, ] .
1. xyz(x+y=z);
2. xyz(xy=z);
3. xy(x+y=y+x)
4. xy(xy=yx);
5. xyz((x+y)+z=x+(y+z));
6. xyz((xy)z=x(yz));
7. xyz(x(y+z)=xy+zx);
8. x(x1=x);
9. В множестве N₀=N{0} имеется нейтральный элемент относительно сложения x(x+0=x).
Порядковая структура [Z,<], как и [N,<], обладает свойством дискретности (А2), но множество Z не имеет начального элемента (не выполняется А1). Здесь имеет место свойство xy(y< x).
Алгебраическая структура [Z,+,] обладает всеми свойствами [N,+,], то есть вышеперечисленными свойствами 1 - 9 и, кроме того, следующим свойством: 10. x (-x)(x+(-x)=0) (существует симметричный элемент).
Отсюда следует, что уравнение a+x=b всегда разрешимо.
Структура [Z,+] характеризуется тем, что операция "+" ассоциативна, имеет нейтральный элемент и для каждого элемента существует симметричный элемент. В таком случае говорят, что операция "+" определяет в Z групповую структуру или что [Z,+] - группа. Так как операция "+" коммутативна, то это коммутативная группа.
Структура - кольцо (кольцо характеризуется тем, что первая операция "+" придает множеству структуру коммутативной группы, а вторая "" ассоциативна и дистрибутивна относительно первой).
Структура [Q,<] уже не обладает свойством дискретности. В Q истинно высказывание xy(x< y(x< z и z< y) или xy(x< yz(x< z< y). Это выражает свойство плотности.
Учащиеся склонны считать множество Q не только всюду плотным, но и полным, то есть покрывающим прямую без пробелов. Это ошибочное понимание порождается восприятием геометрического изображения чисел в виде точек на прямой. Опровергнуть это можно показав несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной.
Используем геометрический эквивалент алгоритма Евклида.

Алгебраическая структура [Q,+,] обладает всеми свойствами 1-10 и, кроме того, свойством: 11. x 0 x^-1(x x^-1=1), числа x и x^-1 симметричны относительно умножения и взаимообратны.
Структура [O,+,] является кольцом, в котором вторая операция () придает множеству Q новую групповую структуру, если только удалить из Q нейтральный элемент относительно первой операции (т. е. О), причем эта группа [Q,] тоже коммутативна. В таком случае говорят, что операции "+" и "" придают множеству Q структуру поля.
Полем называется множество, в котором определены операции "+" и "" и выполняются следующие условия:

1. 
   x+y=y+x
   
2. 
   x+(y+z)=(x+y)+z
   
3. 
   xy=yx
   
4. 
   x(yz)=(xy)z
   
5. 
   x(y+z)=xy+xz
   
6. 
   0+x=x (нейтральный элемент, нуль относительно сложения)
   
7. 
   1x=x (нейтральный элемент относительно умножения)
   
8. 
   x+(-x)=0 (противоположный элемент)
   
9. 
   xx ^-1=1 (обратный элемент)
   

Имеются различные теории изложения действительных чисел (по Вейерштрассу, по Дедекинду или по Кантору). Рассмотрим лишь вопросы о различии структур Q и R, если R получено дополнением Q до бесконечности десятичными непериодичными дробями (иррациональными числами).
1.Показываем, что бесконечные десятичные дроби порождают пары сходящихся числовых последовательностей (с недостатком и с избытком) 1,4<1,41<1,414<...< √2< ...< 1,4,15<1,42<1,5
2.Показываем, что это число (√2) - единственное (как предел).