Учебное пособие "Методика преподавания математики"

3. Различные подходы к введению числовых множеств
Изучение чисел в школьном курсе математики ведется в такой последовательности: натуральные числа, нуль, дроби (положительные), отрицательные числа и множество рациональных чисел, иррациональные числа и множество действительных чисел. Эта последовательность отражает исторический путь развития понятия числа в математике: NQ⁺QR (историческая схема развития понятия числа). В математике дроби возникли значительно раньше, чем отрицательные числа.
В современной математике принята другая последовательность: NZQR ёё (логическая схема развития понятия числа). От исторической она отличается более ранним введением отрицательных чисел. Поэтому в такой последовательности после натуральных чисел изучаются целые числа. Множество Z по своим свойствам проще множества Q⁺, например, множество Z - дискретное, а множество Q⁺ - плотное. Это является одним из преимуществ логической схемы. Приверженность школьного курса исторической схеме объясняется тем, что понятие дроби доступнее, чем понятие отрицательного числа. Совершенствование методики изучения отрицательных чисел, проникновение их в повседневную деятельность людей способствуют более раннему изучению отрицательных чисел. В настоящее время отрицательные числа изучаются в начале VI класса. До введения программы по математике 1968 г. они изучались во втором полугодии VII класса. В раннем изучении отрицательных чисел проявляется действие логической схемы развития понятия числа. (Существенную роль в развитии этой тенденции сыграли эксперименты Л.В. Занкова, П.Я. Гальперина, В.В. Давыдова и др.).
В школьном курсе изучение отдельных числовых систем носит концентрический характер. Поэтому последовательность изучения чисел в школе сложнее, чем приведенные выше историческая или логическая схемы развития понятия числа (в программе по математике проследите последовательность изучения числовых множеств; выявите, в чем состоит усложнение учебной схемы развития понятия числа, и чем оно вызвано?).
Многоэтапность изучения чисел в школе возрастает также за счет того, что для некоторых из них рассматриваются различные содержательные трактовки (интерпретации). В школьном учебнике в подобных случаях говорится о "различных формах записи чисел". Например, рациональное число представляется и как дробное число, и как десятичная дробь. При этом возникают определенные методические проблемы: объяснение учащимся целесообразности "двойного" изучения рациональных чисел (внутриматематические, практические потребности), определение соотношения различных подходов (чему больше уделять внимания: изучению рациональных чисел и представления их как дробных чисел или как десятичных дробей), выбор последовательности изучения (что изучать вначале: обыкновенные дроби или десятичные дроби).
В математике существуют два подхода к построению числовых систем: аксиоматический и конструктивный. В школьном курсе присутствуют элементы обоих этих подходов. Некоторое применение в школьных учебниках находит операторная точка зрения на число (операторному истолкованию числа много внимания уделял, например, Н. И. Лобачевский).
Определенную роль в развитии методики изучения числовых систем сыграли дискуссии об умножении и делении на дробь (1949-1950 гг.), о последовательности изучения тем "Обыкновенные дроби" и "Десятичные дроби" (1961 - 1962 гг.).