Учебное пособие "Методика преподавания математики"

О различных трактовках понятия тождества

Прежде чем говорить о методике тождественных преобразований, рассмотрим понятие тождества.
Определение 1. Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством.
Два выражения называются тождественно равными, если при любых значениях переменных соответствующие значения этих выражений равны. Замену одного выражения другим, ему тождественно равным, называют тождественным преобразованием этого выражения.
Определение 2. Равенство, верное при всех допустимых значениях переменных, называется тождеством.
Под допустимыми значениями переменных здесь подразумеваются все значения переменных, при которых имеют смысл левая и правая части рассматриваемого равенства.
Определение 3. Равенство, верное при любых значениях переменной (пар значений переменных, троек значений переменных и т.д.), принадлежащих данному множеству, называется тождеством на этом множестве.
Замену одного выражения другим, тождественно равным ему на данном множестве, называют тождественным преобразованием этого выражения на указанном множестве.
Выясним достоинства и недостатки каждого из этих подходов.
Определение 1 имеет краткую формулировку. Оно удобно, если ограничиться рассмотрением целых рациональных выражений. Однако по этому определению нельзя считать тождественными даже такие равенства, как (ложно при ) и (ложно, если , ).
Отмеченных недостатков лишено определение 2. Все равенства, которые являются тождествами по определению 1, будут тождествами и по определению 2. А кроме того, еще и такие, как ; ; ; ; .
К сожалению, определению 2 удовлетворяют не только приведенные выше, но и такие равенства, как , . Очевидно, что такие "тождества" с практической точки зрения не интересны.
Как известно, ценность тождеств состоит в том, что одно выражение заменяют другим, тождественно равным первому, второе - третьим и т.д. Иначе говоря, представляют интерес такие тождества, которые обладают свойством: из того, что .
С этой точки зрения определение 2 тоже имеет дефекты, так как указанным свойством не обладает ряд равенств, которые являются тождествами по определению 2. Действительно, и - тождества, а равенство не является тождеством. И таких примеров можно привести сколько угодно.
Использование многих равенств, являющихся тождествами по определению2, при решении уравнений может привести к уравнению, неравносильному данному. Например, замена тождественно равным ему выражением при решении уравнения приводит к уравнению , неравносильному данному (ему удовлетворяет - "посторонний корень").
Указанных недостатков не имеет определение 3. Из определения тождества на множестве непосредственно следует, что отношение тождественного равенства на данном множестве между выражениями рефлексивно, симметрично и транзитивно. Таким образом, отношение тождественного равенства на данном множестве между выражениями является отношением эквивалентности.
При подходе к понятию тождества по определению 3 проводится теоретико-функциональная точка зрения. Она хорошо раскрывает смысл тождественно равных выражений: два выражения с одной переменной тождественно равны на данном множестве М, если при любых значениях переменной, принадлежащих данному множеству М, равны их соответствующие значения. При таком подходе легко доказать, что два выражения и на указанном множестве М не являются тождественно равными. Для этого достаточно найти такое , при котором . Например, выражения и не являются тождественно равными на множестве R, так как при .
Доказать же, что два выражения являются тождественно равными на некотором бесконечном множестве, опираясь на теоретико-функциональную точку зрения на понятие тождества, невозможно.
Для этого пользуются некоторыми исходными тождествами, выражающими свойства операций, истинность которых принимается в качестве аксиом:
1. , ;
2. , ;
3. , ;
4. , ;
5. . Опираясь на эти тождества, выводят новые тождества, которые выражают правила тождественных преобразований, изучаемые в школьном курсе алгебры. Например, тождество , для доказательства которого полагают и т.д. При выводе новых тождеств используются также некоторые определения, например, , , если .