Учебное пособие "Методика преподавания математики"

Классификация понятий - выяснение объема понятий, т.е. разделение множества объектов, составляющих объем родового понятия, на виды. Это разделение основано на сходстве объектов одного вида и отличии их от объектов других видов. Правильная классификация понятий предполагает соблюдение некоторых условий:
1. Классификация должна проводиться по определенному признаку, остающемуся неизменным в процессе классификации.
2. Понятия, получающиеся в результате классификации, должны быть взаимно независимыми, т.е. их пересечение должно быть пустым множеством.
3. Сумма объемов понятий, получающихся при классификации, должна равняться объему исходного понятия.
4. В процессе классификации необходимо переходить к ближайшему в данном родовом понятии виду.
Классификация натуральных чисел (рис. 6) и классификация треугольников по сторонам и углам (рис. 7), позволяют наблюдать выполнение этих четырех условий.

Рис. 6. Классификация натуральных чисел

Рис. 7. Классификация треугольников

методическом смысле полезными в обучении математике могут оказаться и схемы, на которых изображена зависимость изучаемых объектов. Например, в курсе планиметрии рассмотрим класс четырехугольников (рис. 8):

Рис. 8. Схема четырехугольников

В методике преподавания математики выделяются два метода введения понятий: конкретно-индуктивный и абстрактно-дедуктивный (термины введены русским методистом К.Ф. Лебединцевым).

Схема применения конкретно-индуктивного метода.

1. 
   Рассматриваются и анализируются примеры (анализ, сравнение, абстрагирование, обобщение,...).
   
2. 
   Выясняются общие признаки понятия, которые его характеризуют.
   
3. 
   Формулируется определение.
   
4. 
   Определение закрепляется путем приведения примеров и контрпримеров.
   
5. 
   Дальнейшее усвоение понятия и его определения проходит в процессе их применения.
   

Например, понятие параллелограмма.
Схема применения абстрактно-дедуктивного метода.

1. 
   Формулируется определение понятия.
   
2. 
   Приводятся примеры и контрпримеры.
   
3. 
   Закрепляется понятие путем выполнения различных упражнений.
   

Например, введение квадратного уравнения, понятия декартовых координат и т.п.
При формировании понятий целесообразно применять рекомендации психолого-педагогических наук, например, теорию поэтапного формирования умственных действий (П.Я. Гальперина и др.):
I этап. Разъясняют цель вводимого понятия, дают ориентировку.
II этап. Учащиеся формулируют определение исходя из рисунка.
III этап. Учащиеся формулируют определение, пользуясь громкой (внешней) речью без опоры на рисунок.
IV этап. Определение проговаривается в форме внешней речи про себя.
V этап. Определение проговаривается в форме внутренней речи.
При изучении понятий надо варьировать несущественные признаки (принципы варьирования) - это разнообразное расположение на доске рисунков и чертежей, например, треугольника, его высоты, перпендикуляра к прямой и т.д. (не только горизонтальное расположение прямой, основания треугольника и т.п.).
Усвоению определений помогает анализ логической структуры определений. С этой целью составляются алгоритмы для распознавания понятий; математические диктанты и тесты.