Учебное пособие "Методика преподавания математики"

Понятием будем называть мысль о предмете, выделяющую его существенные признаки.
Существенными признаками понятия называются такие признаки, каждый из которых необходим, а все вместе достаточны, чтобы отличить объекты данного рода от других объектов (например, параллелограмм.)
Надо отметить, что выбор существенных признаков для образования определения из всей совокупности признаков не является однозначным.
В каждом понятии различают его содержание и объем.
Содержанием понятия называется совокупность существенных признаков объектов, охватываемых понятием.
Объемом понятия называется совокупность объектов, на которое распространяется данное понятие.
Например, понятие "человек". Содержание: живое существо, создает орудия производства, обладает способностью абстрактного мышления. Объем: все люди.
"Тетраэдр". Содержание: многогранник, ограниченный четырьмя гранями, имеющими форму треугольников. Объем: множество всех тетраэдров.
Между объемом и содержанием понятия существует такое соотношение: чем больше содержание понятия, тем меньше его объем.
Если объем одного понятия входит как часть в объем другого понятия, то первое понятие называется видовым, а второе - родовым.
Понятия род и вид имеют относительный характер. Например, понятие "призма" является родовым по отношению к понятию "прямая призма", но видовым понятием по отношению к понятию "многогранник".

2. Определение математических понятий.  Содержание понятия раскрывается с помощью определения.
Определением называется такая логическая операция, при помощи которой раскрывается содержание вводимого в рассмотрение понятия.
Определить понятие - это значит перечислить существенные признаки предметов, отображенных в данном понятии.
Задача перечисления признаков бывает нелегкой, но она упрощается, если опираться на понятия, ранее уже установленные. Понятие фиксируется в речи с помощью слова или словосочетания, называемого именем или термином понятия. В математике понятие часто обозначается не только именем, но и символом. Например, √2 и другие.
Что значит дать определение? Это значит прежде всего подвести данное понятие под другое, более широкое.
Таким образом, в определении сначала указывается род, в который определяемое понятие входит как вид. А затем указывают те признаки, которые отличают этот вид от других видов ближайшего рода.
Такой прием определения понятия называется определением понятия через ближайший род и видовое отличие.

Понятие = род + видовое отличие

Итак, мы подошли к видам определений. Часто все определения делятся на два вида: явные и неявные.
Явными называются определения, в которых смысл определяемого термина полностью передается через смысл определяющих терминов. Определение через ближайший род и видовое отличие относится к явным.
В неявных определениях смысл определяемого термина не передается полностью определяющими терминами.
Типичный пример неявного определения - определение исходных понятий с помощью системы аксиом. Такие определения называются аксиоматическими. Примерами аксиоматических определений являются определения группы, кольца и поля, и т. п. (аксиоматика Гильберта, Вейля, система аксиом Пеано для натуральных чисел).