Учебное пособие "Методика преподавания математики"

Генетическим называется определение объекта путем указания способа его построения.
Например, "усеченный конус есть тело, происходящее от вращения прямоугольной трапеции вокруг стороны, перпендикулярной к основаниям трапеции". Или определение понятия "линейный угол двугранного угла".
В индуктивном (рекуррентном) определении объект задается как функция f(n) от натурального числа n. Это задание обеспечивается указанием значения f(1) и некоторого равенства, связывающего значения f(n+1) и f(n).
Индуктивным является, например, известное определение суммы натуральных числе Грассмана, состоящее из двух равенств:
m+1=m`, m+n`=(m+n`)`.
Чтобы дать логически правильное определение, нужно соблюдать следующие правила определения.
1. Определение должно быть соразмерным, то есть определяемое и определяющее понятия должны быть равны по объему.
Чтобы проверить соразмерность, нужно убедиться, что определяемое понятие удовлетворяет признакам определяющего понятия и наоборот. Для последнего достаточно в определении поменять местами определяемое и определяющее понятия и в начале присоединить слово "всякий".
Например, дано определение: "Параллелограмм есть многоугольник, у которого противоположные стороны параллельны". Проверяем его: "Всякий многоугольник, у которого противоположные стороны параллельны, есть параллелограмм" - это неверно. Или: "параллельными прямыми называются прямые, которые не пересекаются" (неверно, это могут быть и скрещивающиеся прямые).
2. Определение не должно заключать в себе "порочного круга". Это означает, что нельзя строить определение таким образом, чтобы определяющим понятием было такое, которое само (явно или неявно) определяется при помощи определяемого понятия. Например, "прямым углом называется угол, содержащий 90°, а градусом называется 1/90 часть прямого угла".
Ошибка "порочный круг" иногда принимает форму тавтологии (то же посредством того же) - употребление слова, имеющего то же самое значение.
3. Определение по возможности не должно быть отрицательным. В определении должны указываться существенные признаки предмета, а не то, чем не является предмет.
Например, "ромб - это не треугольник", "эллипс - это не окружность". Однако в математике в некоторых случаях отрицательные определения допустимы, например, "трансцендентной функцией называется всякая неалгебраическая функция " (Н. Лузин) (ни явная, ни неявная).
4. Определение должно быть ясным, не допускающим двусмысленных или метафорических выражений.
Например, "арифметика есть царица математики" - образное сравнение, а не определение.