|
2.Методические особенности изучения необходимых и достаточных условий
Подготовительная работа начинается еще в VII классе. Совершенно ясно, что для изложения рассматриваемого вопроса необходимо познакомить ребят с конструкцией Р═>Q, а следовательно, научить умению находить условия и заключения, строить предложения Р═>Q и Q═>Р, читать любую теорему в виде "Если ..., то ...".
На первом этапе, когда мы знакомим учащихся с формой условного предложения "Если ..., то ...", уместно пояснить, что высказывание от слова "если" до слова "то" - какое-то утверждение. Высказывание после слова "то" тоже какое-то утверждение.
Первое из этих утверждений обозначим через Р, а второе - через Q. Тогда всякую теорему можно прочитать в виде: "Если Р, то Q" - прямая теорема (обозначают Р═>Q); "Если Q, то Р" - обратная теорема (обозначают Q═>Р).
Значит, для построения обратной теоремы надо данную теорему записать в виде "Если ..., то ...", т. е. Р═>Q, найти Р и Q и затем построить Q═>Р.
И далее следуют теоремы, на примере которых учитель показывает, как построить обратную теорему.
Пример. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к нему. (Р═>Q).
Р - точка равноудалена от концов отрезка.
Q - точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку.
Построим Q═>Р (если Q, то Р).
Если точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, то она равноудалена от его концов.
Значит, полезно, изучая всякую новую теорему, предлагать ученикам формулировать теорему в виде "Если ..., то ..." и строить теорему Q═>Р.
Главная трудность на этом этапе в том, что не каждая теорема сформулирована в виде "Если ..., то ...". Основное здесь - отыскать Р и Q, затем сформулировать в виде Р═>Q.
Полезно указывать учащимся на оценку истинности обратной теоремы, приведя в качестве примера хотя бы теорему о равенстве вертикальных углов.
Но не всякая теорема удобна для работы в этом плане, т. е. не следует злоупотреблять такими вопросами.
Термины "достаточно" и "необходимо" в жизни мы употребляем часто, причем не всегда верно. Для выяснения правильности понимания этих терминов учащимся можно дать задание с пропусками.
1. Чтобы попасть в Большой театр. . . поехать в Москву.
2. Чтобы асфальт был мокрый . . . пойти дождю.
В математике же для безошибочного чтения теорем с использованием вышеупомянутых слов надо познакомиться со следующей схемой.
1) В тексте теоремы выделить Р и Q (условие и заключение).
2) Теорему сформулировать в виде Р═>Q (если она так не сформулирована).
3) Установить истинность (ложность) предложения Р═>Q.
4) Сформировать вид Q═>Р.
5) Если Р═>Q истинно и Q═>P истинно, то : .
Затем можно выполнить несколько упражнений.
Пример 1. Проверим, верно ли следующее высказывание: "Чтобы углы были смежными, достаточно, чтобы две их стороны были дополнительными полупрямыми".
Пусть Р - "углы смежные";
Q - "две стороны углов - дополнительные полупрямые".
Допустим, данное предложение истинно. Тогда наше предложение записанное в виде "Чтобы было Р, достаточно Q", истинно.
Смотрим схему: такое предложение есть в п. 4, значит строим Q═>Р: "Если две стороны углов - дополнительные полупрямые, то эти углы смежные" - ложно, т. е. допущение неверно. Поэтому исходное высказывание ложно.
Пример 2. "Чтобы четырехугольник был параллелограммом, достаточно, чтобы его диагонали делились в точке их пересечения пополам".
Пусть Р - "четырехугольник, параллелограмм",
Q - "диагонали четырехугольника делятся в точке их пересечения пополам".
Допущенное предложение верно, значит, верно и данное предложение, записанное в виде ("Чтобы было Р, достаточно Q" - истинно) <═> (Q═>Р).
Строим Q═>Р и проверяем его истинность: "Если диагонали четырехугольника делятся в точке их пересечения пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм" - истинно, т. е. допущение верно, а значит, данное предложение истинно.
Для самостоятельной работы предлагаются упражнения.
1. Назовите несколько достаточных условий равенства треугольников.
2. Сформулируйте условие, достаточное для того, чтобы точка была равноудалена от сторон угла.
3. Назовите какое-нибудь условие, достаточное для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом.
Do'stlaringiz bilan baham: |
