Учебное пособие "Методика преподавания математики"

Из рассмотренных примеров видна специфика решения диффе­ренциальных уравнений. Их решением является бесконечное мно­жество функций, из которых заданием начальных условий полу­чаются решения.
После этого вводятся понятия порядка дифференциального уравнения, общего и частного решения. Указывается, что порядком дифференциального уравнения называется наивысший из поряд­ков входящих в него производных. Например, рассмотренное выше уравнение (1) есть уравнение первого порядка, а уравнение (3) — уравнение второго порядка. Отмечается, что решение дифференциального уравнения первого порядка, содержащее произвольную постоянную С и такое, что при различных значениях С из него могут быть получены все решения этого дифференциального урав­нения, носит название общего решения этого уравнения. Мы ви­дели, что решение (2) уравнения (1) содержало одну произвольную константу, поэтому оно является общим решением этого урав­нения. В случае дифференциального уравнения второго порядка общее решение должно содержать две произвольные константы. Так, например, решением рассмотренного выше уравнения (3) является решение (5), которое содержит две произвольные кон­станты, поэтому это общее решение уравнения (5). И, наконец, сле­дует остановиться на понятии частного решения дифференциаль­ного уравнения. Указывается, что Решение дифференциального уравнения первого порядка, получаемое из общего решения этого уравнения, при определенных значениях произвольной константы С называется частным решением уравнения. Объясняют учащимся, что для получения частного решения уравнения первого порядка из общего надо задать начальные условия, т. е. потребовать, что­бы искомая функция у (х) при некотором значении аргумента х = = х₀ принимала заданное значение у (х₀) = у₀. Последнее можно проиллюстрировать на примере решения задачи 1. Так, для на­хождения из общего решения у= х²+ С частных решений у = х², у = х² + 1, у = х² - 3 были заданы соответственно началь­ные условия: х₀ = у₀ = 0; х₀ = 1 и у₀ =2; х₀ = 2 и у₀ =1. Таким образом, частным решениям у = х², у = х²+1, у = х²— 3 соответствовало задание определенных значений константы С, а именно произвольная константа С соответственно принимала значения 0,1 и —3.
После этого отмечается, что если рассматривается уравнение, порядок которого равен двум, то для получения частного решения из общего следует задать определенные значения двух входящих в него произвольных констант, что также достигается заданием на­чальных условий. А именно для уравнения второго порядка зада­ние начальных условий состоит в том, что при некотором значении аргумента х = х₀ задается значение искомой функции у (х) в этой точке, т. е. у (x₀) = у₀, а также значение ее производной, т. е. y′(x₀)=y₁ .
Например, в задаче 2 были заданы следующие начальные усло­вия: для момента времени t = 0 задавалось начальное положение s (0) = s₀ (т. е. высота тела в начальный момент времени) и началь­ная скорость
(0) = s' (0) = . Это позволило из общего решения найти интересующее нас частное решение являющееся решением рассматриваемой за­дачи

3.