Учебное пособие "Методика преподавания математики"

(х₀, у₀) (или (х₀, f(х₀)), тогда, под­ставив координаты этой точки в решение (2), получим: , т.е.
С ледовательно, решением данной задачи, т. е. искомой кривой, проходящей, через точку (х₀, y₀), является кривая, уравнение кото­рой имеет вид:

В частности, если кривая проходит через точку, координаты кото­рой есть х₀ = у₀ = 0, то решением задачи является парабола у = х², а при х₀ = 1 и у₀ = 2 решением является парабола у = x² + 1 или при х₀ = 2 и у₀ = 1 решением задачи является па­рабола
у = х² — 3 (рис. 2).
Задача 2. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью . Определить закон движения тела, если его положение в начальный момент
t = 0 есть s₀, предполагая, что тело движется только под влиянием силы тяжести.
Решение.
Как известно из курса физики, под влиянием силы тяжести, тело движется с постоянным ускорением, равным g. Мы знаем, что ускорение движения материальной точки выражается произ­водной второго порядка от пути s по времени f , поэтому дифферен­циальное уравнение в данном случае имеет вид:

или, после сокращения на массу т,
( 3 )
Согласно определению второй производной s" = (s')' = ' = - g, поэтому, рассуждая так же, как и при решении первой за­дачи, будем иметь, что функция s' есть первообразная по от­ношению к функции (- g), т. е.
или (4)
Из последнего равенства следует, что s есть первообразная функ­ции
(- gt + C₁), поэтому

где С₁ и С₂ — произвольные постоянные.
Итак, решением дифференциального уравнения является функция
(5)
где С₁ и C₂ — произвольные постоянные. Таким образом, решение содержит две произвольные постоянные С₁ и С₂.
По условию задачи в начальный момент времени t= 0 тело находилось на высоте s₀, поэтому из формулы (5) имеем:

т.е. (6)
С другой стороны, в начальный момент времени t = 0 тело имело начальную скорость , поэтому из формулы (4) следует:

т. е. (7)
Итак, подставив значения С₁ и С₂ из равенств (6) и (7) в формулу (5), получим решение поставленной задачи: