Учебное пособие "Методика преподавания математики"

Задача 1. Найти плоскую кривую, которая в каждой своей точке имеет касательную, образующую с положительным направ­лением оси абсцисс угол, тангенс которого равен удвоенной абсцис­се точки касания.
Решение.
Пусть y = f (х) есть уравнение искомой кривой в плоскости XOY (рис. 1).
По условию задачи в каждой точке N (х, f (х)) существует касательная, образующая с положительным направлением оси Ох угол, тангенс которого равен удвоенной абсциссе точки касания, т. е. tg α = 2х. Используя геометрическое истолкование производной, получим:
f ′ (x)= 2x (1) или у′ = 2х (1′).
Полученное уравнение — дифференциальное уравнение, так как оно содержит производную искомой функции. Из уравнения (1′) (или 1) видно, что про­изводная искомой функции у равна 2х, т. е. сама искомая функция у есть перво­образная функция от функции 2х. Нам из­вестно, что множество всех первообразных данной функции есть неопределенный ин­теграл от этой функции, поэтому имеем:
(2′) или (2)
где С — произвольная постоянная. Итак, решением дифференциального уравнения (1') (или 1) явля­ется функция у = х² + С, где С — произвольная постоянная, т. е. данное уравнение имеет бесконечное множество решений, отли­чающихся на константу. Таким образом, условиям задачи удовлет­воряет не одна кривая, а бесконечное множество кривых — семей­ство парабол (рис. 2). Для того чтобы решение задачи было един­ственным, надо в условии задачи задавать еще точку, через кото­рую проходит искомая кривая. Действительно, пусть ищется кривая, проходящая через точку