Учебное пособие "Методика преподавания математики"

Методика А. Н. Колмогорова (классическая вероятность)²
А. Н. Колмогоров предлагает вводить понятие вероятности, опираясь на комбинаторику. Изучение вероятности следует начать непосредственно с комбинаторных подсчетов числа случаев, благоприятствующих тому или иному событию. Такого рода задачи могут быть интересными по содержанию. Они служат хорошей психологической подготовкой к самому введению понятия вероятности.
В соответствии с этой установкой А. Н. Колмогоров предлагает такую программу изучения теории вероятностей в школе.
1. Начала комбинаторики и вычисление вероятностей при помощи подсчета числа благоприятствующих случаев.
2, Операции над событиями, теорема сложения вероятностей, условные вероятности и независимость.
3. Независимые повторные испытания с постоянной вероятностью, теорема Бернулли (без доказательств), заключительная беседа о, законе больших чисел и его роли в различных областях науки и практической деятельности.
Первоначально предлагается рассмотреть понятие перестановки. На простейших примерах с перестановкой букв выясняется сущность понятия и устанавливается формула подсчета числа перестановок. Скажем, две буквы А и Б можно расположить одну за другой двумя способами: АБ, БА, а буквы А, Б, В уже шестью: АБВ, АВБ, ..., ВБА. В дальнейшем подсчет быстро усложняется, но он производится по формуле . Это проверяется на примерах. Формула легко доказывается методом математической индукции.
В дальнейшем вводится понятие вероятности. Рассматривается пример с семью буквами разрезной азбуки А, А, Б, Б, К, У, Ш, Их помещают в мешок и наудачу вынимают, располагая одну за другой в порядке выема. В результате получается, скажем, слово бабушка. Задается вопрос: «В какой мере такой факт надо считать удивительным?» Начинаются поиски ответа на этот вопрос. Буквы нумеруются. Устанавливается, что их можно расположить по порядку 7! =5040 способами. Лишь в четырех случаях из них получается слово бабушка. Отношение числа благоприятствующих случаев к общему числу случаев в подобных задачах называют вероятностью события. В нашем случае вероятность появления слова бабушка есть

Затем рассматривается пример с буквами А, А, М, М. Подсчитывается вероятность получения слова мама.
В дальнейшем вводится понятие равновозможности при помощи примера, связанного с игральным кубиком, и уточняется понятие вероятности: вероятностью называется отношение числа благоприятствующих случаев к общему числу равновозможных.
При помощи анализа броуновского движения и задачи о блуждании на плоскости показывается, что вероятности приходится вычислять не только при решении шуточных задач.
Рассматривается также блуждание по прямой. Выясняется сущность треугольника Паскаля, предлагается оригинальный вывод формулы подсчета числа сочетаний.
Элементарный метод введения классической вероятности
Опишем еще один, как нам кажется, простой метод введения понятия вероятности. Учитель приносит на урок один или несколько прозрачных сосудов, в которые помещаются красные и белые шары. Пусть в сосуде находится шесть шаров. Учитель говорит: «Мы имеем всего 6 возможностей вынуть шар. Изменим состав шаров. Пусть в сосуде 1 красный и 5 белых шаров. Тогда при случайном выборе шаря имеется одна возможность извлечь красный шар и 5 — белый, т. е. имеется 1/6 всех возможностей вынуть красный и 5/6 вынуть белый шар. Если в сосуде 2 красных шара, то вынуть красный шар 2/6 всех возможностей. Продолжаем такие рассуждения до завершающего случая: если в сосуде 6 красных шаров, то вынуть красный шар — 6/6 всех возможностей, т. е, в этом случае необходимо извлекается только красный шар.


Таблица результатов извлечений такова:

Количество шаров	Из них красных	Какая часть всех возможностей извлечь красный шар
6	0
6	1
6	2
6	3
6	4
6	5
6	6

Анализируя полученные результаты, приходим к выводу, что отношение количества красных шаров ко всему количеству шаров будет характеризовать возможность успеха в выеме красного шара. Чем больше красных шаров в сосуде, тем больше возможностей вынуть красный шар, что характеризуется большей дробью. Такие дроби называют вероятностями выема красного шара.

Опыт показывает, что вероятность следует понимать так. Если в сосуде, скажем, 3 красных шара и 3 белых, то при случайном многократном выеме шара с возвращением и последующим перемешиванием примерно 3/6=1/2 всех вынутых шаров будут красными. Это значит, что если производится 100 выемов, то в 50 случаях будет выем красного шара.
Полученное представление о вероятности следует проиллюстрировать дополнительными примерами. Рассматривается подбрасывание монеты. Сколько возможностей приходится на появление герба при подбрасывании монеты? Имеется одна возможность из двух. Следовательно, вероятность появления герба равна 1/2. Этому же равна вероятность появления цифры.
Аналогично может быть рассмотрено испытание с подбрасыванием кубика. Так формируется представление о вероятности. Однако для полной подготовки учащихся к правильному восприятию общего определения вероятности события им следует усвоить представления о равновозможности и о результатах испытания, благоприятствующих данному событию. Эти понятия могут быть объяснены с помощью рассмотренных примеров. Выем любого шара из сосуда равновозможен. Если монета и кубик строго симметричны и однородны, то появления герба или цифры на монете равнозначны, как и появление числа очков на кубике.
Понятие о результатах испытания, благоприятствующих событию А, может быть введено определением: каждый результат испытания, при котором осуществляется данное событие, называется благоприятствующим событию.
Определение поясняется на рассмотренных моделях. Если в сосуде, скажем, 5 красных и 1 белый шар, то событию А — выему красного шара благоприятствуют пять исходов испытания из шести; при подбрасывании кубика событию 8 — появлению четной цифры — благоприятствуют три результата подбрасывания кости— появление двойки , появление четверки , появление шестерки .
Прежде чем дать определение вероятности, концентрируются все рассуждения. Вывешивается плакат, на котором изображена схема рассуждений и их связей или показывается соответствующий рисунок на экране дисплея, На плакате дано и само определение. К нему могут прийти сами учащиеся, воспользовавшись указаниями преподавателей.