Аналитическая геометрия на плоскости

Пример 4. Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: А (14;1), В(-3;-6), С (5;0).
Решение. Уравнение окружности, проходящей через точки А (4;1),
В(-3;-6), С(5;0) будем искать в виде
.
Так как точки А,В,С принадлежат искомой окружности, то подставляя в это уравнение их координаты, получим систему трех линейных уравнений:

решив которое, получим .
Тогда уравнение окружности примет вид

Для нахождения радиуса и центра окружности приведем полученное уравнение к каноническому виду:
.
Пример 5. Написать уравнения касательных к окружности , проведенных из точки А(1;6).
Решение. Точка А не принадлежит окружности, т.к. . Уравнения касательных будем искать в виде , причем, зная, что точка А(1;6) лежит на касательной, имеем , т.е. .
Из системы уравнений

определим общие точки прямой и окружности, для чего у из первого уравнения подставим во второе и получим
.
Так как прямая касается окружности, то это уравнение имеет единственное решение, следовательно, дискриминант равен нулю, т.е.
,
откуда и тогда, .
Таким образом, и и есть искомые уравнения касательных.
Пример 6. Составить уравнение эллипса, проходящего через точки и .
Решение.
Уравнение эллипса имеет вид . Так как точки М и N лежат на эллипсе, то их координаты удовлетворяют его уравнению.

Из второго уравнения , т.е. , и подстановка в первое уравнение дает следующий результат: , откуда .
Искомое уравнение эллипса: .
Пример 7. Эллипс касается оси ординат в начале координат, а центр симметрии его находится в точке (5;0). Составить уравнение эллипса, если его эксцентриситет равен 0,6.
Решение.

По условию , и уравнение такого эллипса имеет вид

Осталось найти .
Значение с определим из формулы эксцентриситета: , откуда .
Следовательно, , и искомое уравнение эллипса имеет вид
.