Аналитическая геометрия на плоскости

5.4. Парабола
Определение. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от некоторой точки. Называемой фокусом, и прямой, называемой директрисой.
5.4.1. Уравнение параболы
Пусть точка А(х,у) – точка параболы, точка - фокус параболы, а прямая l – ее директриса. Пусть также задано расстояние между ними, равное р (т.е. ), ось Оу – посередине MF, то определение параболы имеет вид .

Найдем расстояния AD и AF. Поскольку и , то получим равенство /
Возводя обе части в квадрат и приводя подобные члены, будем иметь уравнение параболы:
.
Такое уравнение параболы называется каноническим.


5.4.2. Форма и характеристики параболы
Исследуем форму параболы.
Из уравнения параболы видно, что кривая симметрична относительно оси Ох и проходит через начало координат.
Для ее ветви в верхней полуплоскости при , уравнение относительно у:
,
из которого следует, что когда х возрастает на полуинтервале , ордината у возрастает от 0 до .
При ветвь гиперболы симметрична относительно оси Ох. Точка О(0,0) называется вершиной параболы. Парабола не имеет асимптот. Эксцентриситет параболы равен 1.
Если осью симметрии параболы служит ось ординат, то уравнение параболы имеет вид
.
Уравнение директирисы в данном случае , фокус .

Пример. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат при условии F(0;3) и найти уравнение директрисы.
Решение.

Фокус параболы лежит на положительной полуоси ОХ, следовательно, уравнение параболы имеет вид .
Так как координаты фокуса , то , откуда р=6. Искомое уравнение параболы . Уравнение директрисы .