Viii bob. Integral hisob

= ;

• 
  
  

= .

2. 
   Aniq integrallarni taqribiy hisoblash . Yuqorida ko‘rib o‘tilgan usullarda aniq integral qiymatini hisoblash masalasi integral ostidagi f(x) funksiyaning biror F(x) boshlang‘ich funksiyani topish va uning qiymatlarini hisoblash masalasiga keltiriladi. Ammo ayrim aniq integrallar uchun bu usullarni qo‘llashda quyidagi muammolar paydo bo‘lishi mumkin:
   

1) F(x) boshlang‘ich funksiyani topish murakkab ;
2) F(x) boshlang‘ich funksiya murakkab ko‘rinishda bo‘lib, uning F(a) va F(a) qiymatlarini hisoblash qiyinchilik tug‘diradi ;
3) F(x) boshlang‘ich funksiya elementar funksiyalarda ifodalanmaydi;
4) integral ostidagi f(x) funksiya jadval ko‘rinishida berilgan .
Bunday hollarda aniq integralning qiymatini taqribiy hisoblash masalasi paydo
bo‘ladi. Bu masalani yechish uchun matematikada turli formulalar topilgan bo‘lib,
ular umumiy holda kvadratur formulalar deb ataladi. Shu formulalardan eng soddalaridan ikkitasini qisqacha ko‘rib o‘tamiz.
I. To‘g‘ri to‘rtburchaklar formulasi. Bu formulani keltirib chiqarish uchun dastlab а,b kesmani uzunligi bir xil va х=(b–a)/n bo‘lgan n ta [x_i–1, x_i] kesmachalarga (i=1, 2, ∙∙∙, n) ajratamiz. Bunda x_i bo‘linish nuqtalari
(8)
formula bilan topiladi.
So‘ngra integral ostidagi f(x) funksiyaning x_i bo‘linish nuqtalaridagi f(x_i) (i=1, 2, ∙∙∙, n) qiymatlarini hisoblaymiz. Bu qiymatlar va [x_i–1, x_i] kesmachalar uzunligi х bo‘yicha
S_n(f)= f(x₁)х+ f(x₂)х + f(x₃)х+ ∙∙∙ + f(x_n)х
integral yig‘indini hosil qilamiz. Ta’rifga asosan I aniq integral S_n(f) integral yig‘indilar ketma – ketligining n→∞ bo‘lgandagi limitiga teng. Shu sababli, n katta son bo‘lganda, I ≈ S_n(f) deb olish mumkin. Natijada ushbu taqribiy formulaga ega bo‘lamiz:
. (9)
Agar [a,b] kesmada f(x)>0 deb olsak, unda (9) taqribiy tenglikning o‘ng
tomonidagi yig‘indi asoslari bir xil х uzunlikli [x_i–1, x_i] kesmachalardan, balandliklari esa h_i= f(x_i) (i=1, 2, ∙∙∙, n) bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchaklardan tuzilgan pog‘onasimon geometrik shaklning (74-rasmga qarang) yuzini ifodalaydi. Chap tomondagi aniq integral qiymati esa aABb egri chiziqli trapetsiya yuziga teng.

74-rasm

3-TA’RIF: Aniq integral uchun (9) taqribiy tenglik to‘g‘ri to‘rtburchaklar formulasi deyiladi.
To‘g‘ri to‘rtburchaklar formulasining xatoligi
(10)
formula bilan baholanadi.
Misol sifatida to‘g‘ri to‘rtburchaklar formulasi yordamida
(11)
aniq integralning taqribiy qiymatini topamiz. Buning uchun [0,1] integrallash kesmasini n=10 teng bo‘lakka ajratamiz va hisoblashlar natijalarini quyidagi jadval ko‘rinishida ifodalaymiz.

i	xi=0.1i	1+xi^2
1	0.1	1.01	0.9901	0.9901
2	0.2	1.02	0.9615	1.9516
3	0.3	1.09	0.9174	2.8690
4	0.4	1.16	0.8621	3.7311
5	0.5	1.25	0.8000	4.5311
6	0.6	1.36	0.7353	5.2664
7	0.7	1.49	0.6711	5.9375
8	0.8	1.64	0.6098	6.5473
9	0.9	1.81	0.5525	7.0998
10	1.0	2.0	0.5000	7.5998

Bizning misolda Δx=(1–0)/10=0.1 bo‘lgani uchun, (9) formulaga asosan, ushbu natijani olamiz:
.
Bu taqribiy natijani xatoligini (10) formula bo‘yicha baholaymiz. Bizning misolda

va shu sababli (10) formulada M₁=2 deb olish mumkin. Bu holda
Δ≤2∙(1–0)²/(4∙10)=1/20=0.05
bo‘lgani uchun (11) aniq integralning qiymati
0.75998–0.05 < I < 0.75998+0.05 => 0.70998 < I < 0.80998
oraliqda yotadi. Bu natijani (11) integralning aniq qiymati π/4≈0.7854 bilan taqqoslab, yo‘l qo‘yilgan absolut xatolik Δ=0.0255 ekanligini ko‘rishimiz mumkin. Shunday qilib, hatto unchalik katta bo‘lmagan n=10 holda ham (9) to‘g‘ri to‘rtburchaklar formulasi ancha yaxshi natija berdi.