Viii bob. Integral hisob

§7. ANIQ INTЕGRALLARNING AYRIM TATBIQLARI

• 
  Tekislikdagi geometrik shakllarning yuzalarini hisoblash.
  
• 
  Tekislikdagi egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash.
  
• 
  Aniq integral yordamida jismlar hajmini hisoblash.
  
• 
  Aniq integralni mexanika masalalariga tatbiqlari.
  
• 
  Aniq integralni ayrim iqtisodiy tatbiqlari.
  

Aniq integral yordamida egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi, o‘zgaruvchi kuch bajargan ishni va mehnat unumdorligi o‘zgaruvchan bo‘lgan holda ishlab chiqarilgan mahsulot hajmini topish mumkinligini oldin ko‘rib o‘tgan edik. Ammo aniq integralning amaliy tatbiqlari bu bilan chegaralanib qolmasdan, bulardan tashqari uning yordamida yana juda ko‘p masalalar o‘z yechimini topadi. Bu paragrafda ulardan ayrimlari bilan tanishamiz.

1. 
   Tekislikdagi geometrik shakllarning yuzalarini hisoblash. Bizga ma’lumki, y=f(x)≥0 funksiya grafigi, х=а va х=b vertikal to‘g‘ri chiziqlar hamda y=0 , ya’ni OX koordinata o‘qi bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi aniq integral orqali
   

(1)
formula bilan hisoblanadi. Bu formulani umumiyroq hollarda qaraymiz.

• 
  Agar [а,b] kesmada f(x)0 bo‘lsa, unda tegishli egri chiziqli trapetsiya OX o‘qidan pastda joylashgan va aniq integral qiymati manfiy son bo‘ladi. Shu sababli bu holda egri chiziqli trapetsiya yuzasi
  

(2)
formula orqali topiladi.
Masalan, x[π/2,π] holda y=cosx≤0 va bunda hosil bo‘ladigan egri chiziqli trapetsiya yuzasi
.

• 
  Agar [а,b] kesmada f(x) ishorasi o‘zgaruvchan funksiya bo‘lsa, unda tegishli egri chiziqli trapetsiyaning bir qismi OX o‘qidan yuqorida , bir qismi esa pastda joylashgan bo‘ladi (keyingi betdagi 76-rasmga qarang).
  

Bu holda hosil bo‘ladigan egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi (1) va (2) formulalardan foydalanib topiladi va ularni birlashtirib
(3)
ko‘rinishda yozish mumkin.



76-rasm

Masalan, x[0,π] holda y=cosx funksiya [0,π/2) sohada musbat, (π/2,π] sohada esa manfiy qiymatlar qabul etadi. Bunda hosil bo‘ladigan egri chiziqli trapetsiya yuzasi
.

• 
  у=f(x) vа у=g(x) [f(x)≥g(x)] egri chiziqlar hamda х=а vа х=b to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan geometrik shaklning (77-rasm) S yuzasini hisoblash talab etiladi.
  

Chizmadan va aniq integralning geometrik ma’nosidan foydalanib, quyidagi tengliklarni yoza olamiz:
. (4)
Masalan, y=x² va y=x, x=2 va x=4 chiziqlar bilan chegaralangan yassi geometrik shakl yuzasini (4) formuladan foydalanib hisoblaymiz:
.

• 
  Endi x=φ(t) , y=ψ(t) ( t[α, β]) parametrik tenglama bilan berilgan chiziqdan hosil qilingan egri chiziqli trapetsiya yuzasini hisoblash masalasini qaraymiz. Unda (1) formuladagi aniq integralda x o‘zgaruvchini t o‘zgaruvchi bilan almashtirib, quyidagi formulaga ega bo‘lamiz:
  

. (5)
Misol sifatida yarim o‘qlari a va b bo‘lgan ellipsning S yuzasini topamiz. Bu ellipsning parametrik tenglamasi x=acost, y=bsint (t[0,2π]) ekanligi bizga ma’lum. Ellipsning simmetrikligidan hamda (5) formuladan foydalanib, uning yuzasi S uchun


formulaga ega bo‘lamiz. Bunda a=b=R desak, unda ellips aylanaga o‘tadi va yuqoridagi formuladan doira yuzasi uchun bizga tanish bo‘lgan S=πR² formula kelib chiqadi.

2.