Viii bob. Integral hisob

Bo‘laklab integrallash usuli. u=u(x) vа v=v(x) diffеrеntsiallanuvchi funksiyalar bo‘lsin. Bu holda (иv)′=u′v+иv′ ekanligidan иv funksiya u′v+иv′ uchun boshlang‘ich funksiya bo‘ladi. Shu sababli, Nyuton – Leybnits formulasiga asosan,


tenglikni yozish mumkin. Bu yerdan, aniq integralning II xossasi va u′dx=du, v′dx=dv ekanligidan foydalanib, ushbu natijalarni olamiz:

(6)
2-TA’RIF: (6) tеnglik aniq integralni bo‘laklab integrallash formulasi dеb ataladi.
Bu yerdan ko‘rinadiki, aniq integralni bo‘laklab integrallash xuddi aniqmas integralga o‘xshash usulda amalga oshiriladi. Buni quyidagi misollarda ko‘ramiz:

• 
  
  

;

• 
  
  

;

2. 
   Aniq integralda o‘zgaruvchini almashtirish usuli. Berilgan uzluksiz y=f(x) funksiyadan [a,b] kesma bo‘yicha olingan
   

aniq integralni ba’zi hollarda biror x=(t) differensiallanuvchi funksiya orqali “eski” x o‘zgaruvchidan “yangi” t o‘zgaruvchiga o‘tish usulida hisoblash mumkin bo‘ladi. Bunda (t) funksiya almashtirma deb ataladi va unga quyidagi shartlar qo‘yiladi:

1. 
   =а , =b ;
   
2. 
   t vа  ′t funksiyalar t[ ] kesmada uzluksiz ;
   
3. 
   f [t] murakkab funksiya [ ] kesmada aniqlangan va uzluksiz.
   

Bu shartlarda ushbu formula o‘rinli bo‘ladi:
(7)
Isbot: F(x) berilgan integral ostidagi f(x) funksiyaning birorta boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsin. Unda, Nyuton – Leybnits formulasiga asosan,

tenglikni yozish mumkin. Bu yerdan, integralni invariantlik xossasi (§2, (2) tenglikka qarang) va yuqoridagi 1 – 3 shartlardan foydalanib, ushbu natijaga kelamiz:
.
Oldingi va bu tenglikning o‘ng tomonlarini taqqoslab, (7) formula o‘rinli ekanligiga ishonch hosil qilamiz.
3-TA’RIF: (7) tеnglik aniq integralda o‘zgaruvchilarni almashtirish formulasi dеb ataladi.
Ushbu aniq integrallarni o‘zgaruvchilarni almashtirish formulasi yordamida hisoblaymiz.

•